Une construction classique d'un plongement sauvage d'un ensemble de Cantor dans R^3 obtenue par une suite imbriquée infinie de tores pleins entrelacés (un 'collier'), produisant un ensemble de Cantor dont le complément n'est pas simplement connexe et qui montre un comportement d'immersion pathologique.

Principe

L'immersion d'un ensemble totalement discontinu peut affecter les propriétés topologiques globales de son complément ; la construction d'Antoine montre que même un ensemble de Cantor peut être plongé de façon que le complément soit topologiquement non trivial (sauvage) malgré la simplicité intrinsèque de l'ensemble de Cantor.

Démonstration

On construit une suite de tores pleins disposés en une chaîne entrelacée, chaque tore étant imbriqué dans le précédent, l'intersection des cœurs imbriqués donnant un ensemble de Cantor ; le complément contient des boucles non triviales qui ne peuvent être contractées, si bien que le complément n'est pas simplement connexe.

Mauvaise application

Supposer que tout ensemble de Cantor plongé dans R^3 est 'tame' (autrement dit, ambientement homéomorphe à un Cantor contenu dans une droite) ; ne pas distinguer les propriétés intrinsèques de l'ensemble de Cantor et celles de son plongement conduit à des conclusions topologiques erronées concernant le complément.

Conséquence

Le collier d'Antoine fournit un exemple concret où les intuitions classiques en trois dimensions échouent : les théorèmes usuels sur les domaines complémentaires ou le 'sphere taming' peuvent se rompre, et l'on obtient des espaces à comportement sauvage qui ne se simplifient pas par isotopie ambiante.

Inversion

Un ensemble de Cantor tame (plongement standard) : un ensemble de Cantor plongé dans R^3 de sorte que son complément est simplement connexe ou ambientement homéomorphe au complément d'un Cantor contenu dans une droite, sans enlacement sauvage.

Limite

Spécifique aux plongements en dimension trois (et supérieures) où des phénomènes d'enlacement peuvent se produire ; la sauvagerie de type Antoine n'existe pas sous la même forme dans le plan et dépend de la construction par tores imbriqués plutôt que de la dimension fractale intrinsèque.

Tension sémantique

La tension oppose les propriétés intrinsèques (théoriques) d'un ensemble de Cantor (totalement discontinu, parfait, d'intérieurs vides) et les propriétés extrinsèques d'immersion qui déterminent la topologie du complément ; le collier d'Antoine met en évidence cette séparation.

Synthèse

Le collier d'Antoine est un ensemble de Cantor plongé dans R^3 par une construction de tores imbriqués entrelacés de sorte que le complément est topologiquement non trivial ; il illustre comment des plongements sauvages peuvent produire des compléments pathologiques même pour des ensembles totalement disconnexes et apparemment simples.