Une généralisation du théorème de la courbe de Jordan : un plongement d'une (n−1)-sphère S^{n−1} dans R^n sépare R^n en exactement deux régions complémentaires, l'une bornée (l'« intérieur ») et l'autre non bornée (l'« extérieur »), et la sphère plongée en est le bord commun.

Principe

Les sphères plongées de codimension un dans l'espace euclidien provoquent une séparation topologique : une (n−1)-sphère plongée dans R^n divise l'espace ambiant en deux composantes en raison de l'orientabilité et de la nature codimension‑un du plongement, fournissant un intérieur et un extérieur bien définis.

Démonstration

Pour n=3, une 2‑sphère plongée dans R^3 borne une région bornée (une 3‑boule) et un extérieur non borné ; la dualité d'Alexander ou des arguments de degré en topologie algébrique formalisent cette séparation pour n général en reliant l'homologie réduite du complément à l'homologie de la sphère.

Mauvaise application

Prendre le théorème pour valable pour toute (n−1)-variété fermée plongée dans R^n ; la conclusion de séparation dépend du fait que la variété plongée est une sphère (c'est‑à‑dire a l'homologie/type de S^{n−1}). Des plongements de topologie compliquée ou d'homologie non sphérique peuvent ne pas séparer en exactement deux régions complémentaires comme énoncé.

Conséquence

Constitue un outil fondamental pour comprendre la topologie des plongements en codimension un et sous-tend de nombreux résultats de classification et de dualité ; il garantit que des plongements sphériques standards délimitent une seule composante bornée utilisée en décomposition et chirurgie de variétés.

Inversion

La réciproque est fausse en général : une hypersurface fermée plongée qui sépare n'est pas nécessairement homéomorphe à une (n−1)-sphère. De plus, des ensembles non plongés ou singuliers ayant l'homologie d'une sphère peuvent ne pas séparer de la même manière.

Limite

Valable pour les plongements de sphères S^{n−1} comme plongements lisses, PL ou topologiques dans R^n sous les hypothèses usuelles ; exclut les images non plongées, les sphères immersées avec auto‑intersections et les plongements de codimension supérieure où le comportement de séparation diffère.

Tension sémantique

Tension entre critères homologiques/topologiques (dualité d'Alexander) et intuition géométrique : certains ensembles à homologie sphérique se comportent comme des sphères pour la séparation, tandis que d'autres nécessitent des hypothèses de bonne tameness/plongement ; tension aussi entre la particularité de la codimension un et l'échec en codimensions supérieures.

Synthèse

Le Théorème de séparation Jordan–Brouwer étend la séparation jordonienne au-delà du plan : une (n−1)-sphère plongée dans R^n partage l'espace en exactement deux composantes — un intérieur borné et un extérieur non borné — faisant de ces plongements de sphères des bords canoniques pour régions bornées et des éléments centraux des arguments de dualité et décomposition.