Théorème topologique affirmant que tout champ de vecteurs tangent continu sur la sphère S2 s'annule en au moins un point ; plus généralement, tout champ tangent continu sur une sphère de dimension paire admet un zéro. En particulier, il n'existe pas de champ tangent continu partout non nul sur S2.

Principe

Des contraintes topologiques globales (caractéristique d'Euler et orientation) imposent l'existence de zéros pour les champs de vecteurs tangents sur les sphères de dimension paire ; la régularité locale ne peut lever cet obstacle d'indice global.

Démonstration

Sur S2, tenter d'assigner à chaque point un vecteur tangent continu non nul (métaphore du peignage d'une boule poilue). Toute assignation continue crée nécessairement au moins un point singulier (une mèche) où le vecteur s'annule. Formellement, l'argument de Poincaré–Hopf ou la caractéristique d'Euler montre que la somme des indices vaut 2, d'où l'existence d'un zéro.

Mauvaise application

Interpréter le théorème comme interdisant les champs vecteurs non nuls sur toutes les variétés ou sur les sphères de dimension impaire. Par exemple, prétendre qu'il interdit un champ tangent continu partout non nul sur S1 ou S3 est incorrect.

Conséquence

Pour S2, le théorème empêche l'existence de trames tangentes continues globales sans zéros et entraîne des obstructions pour la construction de champs vecteurs partout non nuls ; il a des conséquences pour la classification des fibrés tangents et pour des modèles d'écoulement sur des surfaces sphériques (il doit y avoir au moins un point d'arrêt).

Inversion

La réciproque est fausse : l'existence d'un zéro pour certains champs ne signifie pas que la variété est une sphère de dimension paire. Inversement, les sphères de dimension impaire (par ex. S1, S3) peuvent admettre des champs tangentiels continus non nuls.

Limite

S'applique aux champs de vecteurs tangents continus sur les sphères et plus généralement aux variétés fermées de dimension paire ayant une caractéristique d'Euler non nulle ; il exclut les champs non tangents, les assignations discontinues et les champs définis sur des variétés à bord sans hypothèse additionnelle.

Tension sémantique

Tension entre continuité et différentiabilité (les champs lisses sont des cas particuliers mais la continuité suffit) et entre constructions locales en coordonnées qui semblent éviter les zéros et les invariants topologiques globaux qui les imposent ; tension aussi entre les dimensions particulières (2 vs 3) et les énoncés pour variétés générales.

Synthèse

Le Théorème de la boule poilue relie l'intuition géométrique simple (on ne peut pas peigner les poils d'une sphère sans laisser de mèche) à une obstruction topologique précise : des invariants globaux (caractéristique d'Euler / indice de Poincaré–Hopf) forcent l'existence de zéros pour les champs de vecteurs tangents sur les sphères de dimension paire, restreignant les champs globaux malgré une trivialité locale.