Propriété topologique : un espace est compact dénombrablement si tout recouvrement ouvert dénombrable admet un sous-recouvrement fini ; de façon équivalente (sous les hypothèses de séparation usuelles) tout sous-ensemble dénombrablement infini admet un point d'accumulation.

Principe

Les familles dénombrables ou les sous-ensembles dénombrables suffisent pour contrôler une forme affaiblie de compacité : on restreint l'exigence de compacité aux familles dénombrables afin d'évaluer la propension de l'espace à laisser les points « s'échapper » de façon dénombrable.

Démonstration

L'espace [0,ω1) (le premier ordinal non dénombrable muni de la topologie d'ordre) est compact dénombrable mais pas compact ; tout sous-ensemble dénombrable y a une borne supérieure ordinale strictement inférieure à ω1 et donc un point d'accumulation, tandis qu'il existe un recouvrement ouvert non dénombrable sans sous-recouvrement fini.

Mauvaise application

Confondre la compacité dénombrable avec la compacité séquentielle dans des espaces quelconques ; présumer qu'un espace compact dénombrable est compact sans vérifier les recouvrements non dénombrables ou les axiomes de séparation.

Conséquence

Quand elle s'applique, on peut remplacer des arguments de compacité par des arguments ne faisant intervenir que des sous-recouvrements dénombrables ou des points d'accumulation de sous-ensembles dénombrables, ce qui simplifie les démonstrations dans des contextes où la compacité totale échoue mais la compacité dénombrable tient.

Inversion

La négation donne des espaces admettant un recouvrement ouvert dénombrable sans sous-recouvrement fini ou un sous-ensemble dénombrablement infini sans point d'accumulation ; des exemples familiers dans la métrique fournissent des contre-exemples explicites.

Limite

S'applique aux espaces topologiques ; les équivalences avec la formulation par points d'accumulation requièrent des hypothèses T1 ou proches. C'est strictement plus faible que la compacité en général et non comparable à la compacité séquentielle sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Tension sémantique avec la compacité séquentielle et la compacité par points limites : ces notions diffèrent en général, coïncident sous des hypothèses supplémentaires (par exemple en espaces métriques ou première dénombrabilité T1) mais divergent dans des topologies exotiques.

Synthèse

La compacité dénombrable isole le comportement de compacité observable par des familles ou des sous-ensembles dénombrables : elle empêche toute fuite dénombrable de points tout en autorisant des échecs qui n'apparaissent qu'à l'échelle non dénombrable.