Un cardinal κ est un calibre d'un espace topologique X si toute famille de κ ouverts non vides de X contient une sous-famille de taille κ dont l'intersection est non vide. Des variantes existent (calibre dénombrable, calibres relatifs à des familles dirigées, ou en exigeant des intersections finies).

Principe

Le calibre formalise une contrainte combinatoire de type compacité sur de grandes familles d'ouverts : parmi κ ouverts on peut en extraire κ qui se rencontrent simultanément, empêchant certains comportements de fragmentation en larges familles.

Démonstration

Un espace compact possède des propriétés de calibre fortes : par exemple, dans un espace compact métrisable toute famille d'ouverts ne peut former un contre-exemple pathologique à certaines propriétés d'intersection. Plus concrètement, dans un compact métrisable toute famille dénombrable d'ouverts non vides contient une sous-famille ayant des propriétés d'intersection aboutissant à l'intersection non vide de leurs adhérences.

Mauvaise application

Confondre calibre et cellularité (qui concerne l'existence de κ ouverts deux à deux disjoints) ou avec des conditions de chaîne conduit à erreur ; lire « contient une sous-famille de taille κ d'intersection non vide » comme « quelque sous-famille finie » en change le sens.

Conséquence

La présence de calibres contraint les constructions combinatoires en topologie, influence la conservation sous produits et images continues, et intervient dans des résultats de consistance reliant topologie et théorie des ensembles.

Inversion

La négation — l'existence d'une famille de κ ouverts non vides sans sous-famille de taille κ à intersection non vide — décrit l'échec du calibre et signale souvent un comportement de type cellularité ou de familles indépendantes de grande taille.

Limite

Le calibre concerne des familles d'ouverts non vides et l'arithmétique des cardinaux ; il n'affirme pas directement des propriétés sur les points, les sous-espaces discrets fermés ou la taille des bases sauf dans la mesure où ces notions se relient combinatoirement aux familles d'ouverts.

Tension sémantique

Il existe une tension entre calibre et cellularité/conditions de chaîne : la cellularité mesure la taille maximale d'ouverts deux à deux disjoints (comportement opposé), tandis que le calibre exige des intersections cohérentes de grande taille ; ces notions contraignent différemment les familles d'ouverts.

Synthèse

Dire que κ est calibre de X signifie que toute famille de κ ouverts non vides contient κ éléments dont l'intersection est non vide ; c'est une formulation combinatoire de compactité empêchant que de très grandes familles soient mutuellement incompatibles.