La cardinalité minimale d'une base locale en un point ; le caractère d'un espace est le supremum des caractères de ses points et se note souvent χ(x,X) pour un point et χ(X) pour l'espace.

Principe

Quantifie la taille nécessaire d'une base de voisinages pour engendrer tous les voisinages par unions ; un petit caractère (par exemple dénombrable) indique une forte décrivabilité locale par peu d'ouverts de base.

Démonstration

Dans un espace métrique chaque point possède une base locale dénombrable (boules de rayons rationnels), donc chaque point a caractère ℵ0 et le caractère de l'espace est ℵ0 ; dans le produit de κ espaces non triviaux le caractère peut être au moins κ en des points selon le comportement des projections.

Mauvaise application

Confondre caractère et poids (taille d'une base pour l'espace entier) peut induire en erreur : un espace peut avoir un petit caractère en chaque point mais une base globale très grande parce que les bases locales diffèrent d'un point à l'autre.

Conséquence

Des bornes sur le caractère permettent de contrôler la continuité et les arguments de compacité locale : un petit caractère favorise souvent des arguments fondés sur des suites et la séparabilité des constructions locales, influençant le comportement des espaces de fonctions et des conclusions d'homogénéité locale.

Inversion

La vue inversée met l'accent sur les espaces où toute base locale doit être grande, rendant les voisinages intrinsèquement complexes et empêchant certaines réductions locale-vers-global.

Limite

Le caractère concerne uniquement les bases locales de voisinages ouverts et exclut les informations sur des bases de fermés, des π-bases ou la structure algébrique de la topologie ; c'est un invariant pointwise étendu par suprémum à l'espace entier.

Tension sémantique

Le caractère se distingue de la pseudo-caractère (qui exige des familles d'ouverts dont l'intersection est un singleton) et du π-caractère (qui utilise des π-bases) : ces invariants proches mesurent différentes forces de génération locale ou de séparation.

Synthèse

Le caractère mesure la taille minimale d'une base de voisinages en un point et, globalement, la borne supérieure de ces tailles ; il rend compte de la malléabilité locale de la topologie et informe les arguments sur la continuité, les suites et les constructions locales.