Le supremum des cardinalités des familles d'ouverts non vides deux à deux disjoints dans un espace topologique ; autrement dit, la plus grande taille d'une famille d'ouverts disjoints (également appelée nombre de Suslin ou C(X)).

Principe

Mesure combien de régions ouvertes mutuellement séparées l'espace peut accueillir simultanément ; c'est un invariant cardinal global obtenu en prenant un suprémum sur les familles d'ouverts disjoints.

Démonstration

Sur la droite réelle R munie de la topologie usuelle, la cellularité vaut ℵ0 car toute famille disjointe d'intervalles ouverts non vides est dénombrable ; dans un espace discret de cardinal κ, la cellularité est κ puisque les singletons forment des ouverts disjoints deux à deux.

Mauvaise application

Considérer la cellularité comme un invariant local (par exemple attribuer la même cellularité à chaque voisinage d'un point) ou la confondre avec la densité ou le poids conduit à des conclusions erronées concernant la séparabilité ou les bases.

Conséquence

Connaître la cellularité contraint certaines constructions : une cellularité élevée interdit certaines propriétés de recouvrement ou de séparation et influence les bornes cardinales pour d'autres invariants (par exemple, les théorèmes sur les produits font intervenir des bornes de cellularité).

Inversion

La notion inverse consisterait à restreindre aux familles d'ouverts qui doivent s'intersecter entre elles (aucun deux disjoints), ce qui donne un comportement dominé par les intersections plutôt que par la capacité de séparation.

Limite

S'applique à des espaces topologiques quelconques et concerne uniquement les ouverts ; elle exclut les familles de fermés seules, et l'invariant ne décrit pas l'agencement des ouverts au-delà de la disjonction (par ex. il ignore la taille des adhérences ou les limites d'accumulation).

Tension sémantique

La cellularité est facilement confondue avec la densité (taille minimale d'un ensemble dense) ou l'étendue (taille maximale des sous-espaces discrets) ; chacun quantifie un aspect différent de la « grandeur » et ils peuvent diverger fortement sur un même espace.

Synthèse

La cellularité quantifie le nombre maximal de régions ouvertes deux à deux disjointes qu'un espace peut contenir ; c'est une mesure cardinale globale de la capacité de séparation qui complète d'autres invariants comme la densité et le poids.