Pour des espaces pointés (X,x0) et (Y,y0), le produit smash X ∧ Y est le quotient du produit X × Y obtenu en écrasant le wedge X ∨ Y (c’est‑à‑dire X × {y0} ∪ {x0} × Y) en un seul point de base ; c'est un analogue pointé du produit réduit pour les espaces.

Principe

Combiner des espaces pointés tout en écrasant toute copie contenant un point de base, produisant un produit réduit qui se comporte bien dans les contextes d'homotopie stable et de suspension.

Démonstration

Si S^m et S^n sont des sphères basées en un point, alors S^m ∧ S^n est homéomorphe à S^{m+n} ; le produit smash sous‑tend l'isomorphisme de suspension Σ(X ∧ Y) ≅ (ΣX) ∧ Y ≅ X ∧ (ΣY) dans les catégories stables.

Mauvaise application

Écraser un sous‑espace incorrect (par exemple oublier d'écraser les deux copies du point de base) ou appliquer le produit smash à des espaces non pointés sans choisir et contrôler des points de base mène à des résultats ambigus ou erronés.

Conséquence

Bien utilisé, le produit smash est l'opération monoïdale des catégories d'homotopie pointées, préserve les relations de suspension et transforme les théories de cohomologie réduite en structures de anneaux ou modules gradués via les appariements cup et smash.

Inversion

Il n'existe pas d'opération inverse unique : décomposer un espace Z en un produit smash X ∧ Y est fortement non unique et généralement impossible sans structure additionnelle comme une décomposition en co‑H‑espaces.

Limite

Nécessite des points de base bien spécifiés et la formation d'un quotient ; il n'est pas défini de façon intrinsèque pour des espaces non pointés à moins d'adjoindre un point de base, et les propriétés homotopiques usuelles supposent des modèles localement convenables (CW).

Tension sémantique

Proche du produit cartésien et du wedge mais distinct : le smash est la réduction pointée du produit après écrasement du wedge, tandis que le wedge est le coproduit dans les catégories pointées ; on confond parfois smash avec le produit non réduit ou avec des tensors analogues dans d'autres catégories.

Synthèse

Le produit smash est le quotient pointé du produit qui écrase les facteurs contenant le point de base, servant de produit monoïdal adéquat en théorie d'homotopie pointée et permettant des constructions stables telles que la suspension, la multiplication des sphères et les appariements en (co)homologie réduite.