Une construction qui forme un nouvel espace X * Y en joignant chaque point de X à chaque point de Y par un intervalle paramétré de sorte que X et Y apparaissent comme sous‑espaces aux extrémités opposées ; intuitivement une réunion conique de points (x,y,t) avec t ∈ [0,1] et des identifications en t = 0 ou 1.

Principe

Interpoler entre deux espaces en formant tous les segments qui les relient ; le joint augmente la connexité et la dimension de façon contrôlée et fonctorielle.

Démonstration

Pour des espaces discrets à m et n points, le joint est un complexe simplicial homéomorphe à la frontière d'un simplexe de dimension m+n−1 : le joint de S^k et S^l est homéomorphe à S^{k+l+1}, ainsi S^0 * S^n ≅ S^{n+1}.

Mauvaise application

Remplacer le joint par le produit cartésien ou oublier d'effectuer les identifications aux extrémités ; tenter de former un joint sans topologie rendant t continue peut rompre des propriétés essentielles comme la compacité locale ou les assertions de connexité.

Conséquence

Le joint élève la connexité : si X est p‑connexe et Y est q‑connexe (complexes CW), alors X * Y est (p+q+2)‑connexe ; les joints transforment de façon prévisible les données homologiques et homotopiques et servent à construire suspensions et cônes.

Inversion

Décomposer une sphère en un joint non trivial ne permet de retrouver ses facteurs de plus petite dimension que dans des cas rigides particuliers ; l'opération inverse n'est pas unique—plusieurs paires peuvent avoir le même joint.

Limite

Défini pour des espaces topologiques muni des opérations de produit et de quotient ; exclut les 'joins' où les identifications ne sont pas continues ou lorsque l'on tente d'unir des espaces sans préciser la topologie sur le paramètre de l'intervalle, et les conséquences homotopiques usuelles supposent des contextes CW ou compact‑générés.

Tension sémantique

Proche des constructions de suspension et de cône et parfois confondu avec le wedge ou le produit ; contrairement au produit, il relie chaque point d'un facteur à chaque point de l'autre par des segments, et contrairement au wedge il n'impose pas la coïncidence de points‑base mais interpole continûment.

Synthèse

Le joint topologique connecte deux espaces par tous les segments paramétrés, produisant un espace de dimension et connexité supérieures dont l'homotopie et l'homologie suivent des règles additives prévisibles et qui sert de base aux constructions telles que les suspensions et les décompositions de sphères.