Une opération simpliciale qui supprime une face libre σ ainsi que sa coface unique τ d'un complexe simplicial K, où σ est une face de τ et σ n'appartient à aucun autre simplexe maximal ; un tel effondrement élémentaire donne un nouveau complexe K' qui est simple-homotopiquement équivalent à K.

Principe

Un effondrement élémentaire raccourcit un complexe simplicial en supprimant une paire libre (σ,τ) sans changer le type simple-homotopique ; des effondrements élémentaires répétés définissent la notion d'effondrement et d'expansion duale à l'équivalence de simple homotopie et sont fondamentaux en topologie combinatoire.

Démonstration

Dans une triangulation simpliciale d'un disque, si un arête du bord appartient à un seul triangle, cette arête et son triangle forment une paire libre et peuvent être supprimés par un effondrement élémentaire, simplifiant le complexe tout en préservant son type d'homotopie.

Mauvaise application

Supprimer une face arbitraire qui n'est pas libre (par exemple enlever une face partagée par deux triangles) en supposant que le résultat reste homotopiquement équivalent — une telle suppression peut changer le type d'homotopie et n'est pas un effondrement élémentaire.

Conséquence

Une suite d'effondrements élémentaires (et leurs inverses, les expansions élémentaires) relie des complexes qui sont simple-homotopiquement équivalents ; cette notion raffine l'équivalence d'homotopie et interagit avec des invariants algébriques comme la torsion de Whitehead qui obstrue la réduction au point.

Inversion

L'opération inverse est une expansion élémentaire : adjoindre un nouveau simplexe τ avec une face libre σ augmente le complexe et inverse un effondrement ; les expansions servent à construire des complexes d'un type simple-homotopique prescrit.

Limite

S'applique aux complexes simpliciaux finis (ou aux complexes polyédriques après subdivisions appropriées) où existent des faces libres ; elle ne s'applique pas directement aux complexes cellulaires arbitraires sans structure simpliciale à moins de passer à des subdivisions ou analogues PL.

Tension sémantique

Effondrement élémentaire vs rétraction par déformation : les deux peuvent simplifier des complexes tout en préservant le type d'homotopie, mais l'effondrement élémentaire est une opération combinatoire, face par face, liée à la théorie du simple-homotopie, alors que la rétraction par déformation est une notion homotopique continue qui peut ne pas se réaliser simplicialement sans subdivisions.

Synthèse

Un effondrement élémentaire est la suppression d'une paire face–coface libre dans un complexe simplicial, un mouvement combinatoire préservant le type simple-homotopique ; itérer effondrements et expansions organise les complexes par équivalence de simple-homotopie et relie topologie combinatoire et algébrique.