Un sous-ensemble C d'un espace topologique (X, τ) dont le complémentaire X \ C est un ensemble ouvert ; équivalemment, un ensemble qui contient tous ses points d'adhérence ou qui est égal à sa clôture.

Principe

Les fermés sont stables par intersections arbitraires et par unions finies ; l'ensemble vide et l'espace total sont fermés. La fermeture, les limites et l'adhérence s'expriment naturellement par des ensembles fermés.

Démonstration

Sur la droite réelle, l'intervalle fermé [0,1] est fermé car son complémentaire est la réunion de deux rayons ouverts ; toute suite convergente dans [0,1] a sa limite dans [0,1].

Mauvaise application

Supposer qu'un ensemble est fermé parce qu'il est borné (confondre clôture topologique et bornitude métrique) ou affirmer que les complémentaires sont ouverts sans vérifier la topologie ; ces erreurs déforment les arguments sur la convergence et la compacité.

Conséquence

La fermeture est le cadre naturel pour la convergence, la compacité et la continuité du point de vue du codomaine (les applications continues ramènent souvent les fermés en fermés), et elle organise les opérations de complétion et de clôture.

Inversion

La vue duale est l'ouverture ; ne travailler qu'avec des ouverts plutôt qu'avec des fermés déplace l'accent vers les voisinages et l'intérieur au lieu des limites et de l'adhérence.

Limite

La propriété d'être fermé dépend de la topologie choisie ; un fermé n'a pas à être le complémentaire d'une propriété algébrique ou métrique. Être fermé n'implique pas compacité ou finitude sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre la fermeture et l'ouverture (un ensemble peut être les deux ou aucun des deux) et entre descriptions par clôture et par intérieur ; les fermés se trouvent aussi en tension conceptuelle avec des ensembles mesurables ou denses en analyse.

Synthèse

Un ensemble fermé est le complémentaire d'un ouvert, ou équivalemment un ensemble égal à sa clôture : il capture le comportement limite et fournit le langage naturel pour la convergence, la compacité et l'adhérence en topologie.