Un modèle lisse et séparé d'un groupe algébrique commutatif lisse (notamment une variété abélienne) sur un anneau de valuation discrète qui satisfait la propriété de prolongement de Néron : tout morphisme depuis un schéma lisse sur la base vers la fibre générique s'étend de façon unique au modèle.

Principe

Caractériser le comportement intégral et de réduction d'une variété en groupe par une propriété universelle d'extension des morphismes depuis des schémas tests lisses ; la lissité et la séparabilité préservent de bonnes données de réduction sans imposer la propreté, de sorte que le modèle reflète la structure arithmétique et le groupe des composantes de la fibre spéciale.

Démonstration

Pour une courbe elliptique sur un corps p-adique, son modèle de Néron sur l'anneau de valuation donne la composante connexe de la fibre spéciale, un groupe de composantes fini mesurant la réduction multiplicative ou additive, et une identification des points entiers avec les sections du modèle.

Mauvaise application

Confondre un modèle de Néron avec un modèle minimal régulier ou propre et s'attendre à la propreté (les modèles de Néron ne sont généralement pas propres), ou tenter de construire un modèle de Néron pour une variété non commutative ou singulière sans vérifier les hypothèses.

Conséquence

Le modèle de Néron organise les données de réduction, fournit un cadre naturel pour les points entiers et la décomposition des hauteurs locales, et fournit des invariants tels que le groupe des composantes et le type de réduction utilisés dans l'étude des problèmes local-globaux et des hauteurs.

Inversion

Au lieu de la propriété de prolongement de Néron, on pourrait exiger la propreté (modèle minimal régulier) ou la réduction semi-stable ; inverser ces exigences produit des modèles plus adaptés à la théorie des intersections mais moins adaptés à l'extension universelle des morphismes depuis des schémas lisses.

Limite

Défini sur des anneaux de valuation discrète (ou des bases de Dedekind pour des familles) pour des groupes commutatifs et des variétés abéliennes lisses ; exclut les schémas arbitraires, les groupes non commutatifs et les bases dépourvues d'une structure de valuation adéquate, et suppose l'existence d'un modèle lisse séparé.

Tension sémantique

Souvent confondu avec des modèles minimaux réguliers, modèles stables ou modèles entiers propres ; le modèle de Néron se distingue en privilégiant la propriété de prolongement et la lissité plutôt que la propreté, ce qui conduit à des invariants arithmétiques et des applications différents.

Synthèse

Un modèle de Néron est l'incarnation intégrale lisse canonique d'un groupe commutatif sur un anneau de valuation : en imposant une propriété de prolongement universelle il isole les données de réduction et du groupe des composantes essentielles aux points entiers, aux hauteurs locales et aux comparaisons arithmétiques.