Une théorie de cohomologie des faisceaux sur le site étale d'un schéma qui associe des invariants cohomologiques aux schémas et variétés, faisant le lien entre géométrie algébrique, arithmétique et analogues de la cohomologie topologique (par exemple la cohomologie l-adique et les théorèmes de comparaison).

Principe

Remplacer le site topologique classique par la topologie de Grothendieck étale de sorte que les phénomènes localement constants et de torsion soient captés algébriquement ; la fonctorialité, le changement de base et les foncteurs dérivés produisent des suites exactes longues, des suites spectrales et des isomorphismes de comparaison.

Démonstration

Pour une variété projective lisse X sur un corps fini, ses groupes de cohomologie étale l-adiques portent une action de Frobenius dont les traces déterminent le nombre de points et satisfont aux conjectures de Weil ; H^2_et(X,G_m) contient le groupe de Brauer cohomologique utilisé pour les obstructions aux points rationnels.

Mauvaise application

Appliquer sans précaution les intuitions de la cohomologie singulière (par exemple s'attendre à la dualité de Poincaré sans hypothèses), ou prendre des limites l-adiques sans vérifier que l est inversible sur la base conduit à des erreurs ; traiter des faisceaux non constructibles comme s'ils se comportaient comme des systèmes locaux est également trompeur.

Conséquence

La cohomologie étale fournit le cadre cohomologique adapté aux invariants arithmétiques, la comparaison avec la cohomologie de Betti sur C, les représentations l-adiques du groupe de Galois et des outils comme les applications classe de cycle et les théorèmes de dualité essentiels en géométrie arithmétique moderne.

Inversion

Revenir à la cohomologie topologique classique (Betti) pour des bases non complexes fait perdre la structure arithmétique ; inversement, n'utiliser que la cohomologie étale en situation analytique masque des aspects transcendants saisis par la topologie complexe.

Limite

Mieux adaptée aux schémas et coefficients de torsion ou l-adiques avec l inversible sur la base, et aux faisceaux constructibles ; ne remplace pas la cohomologie cristalline en caractéristique p pour des coefficients p-adiques et ne traite pas automatiquement la ramification sauvage sans raffinements.

Tension sémantique

Souvent opposée à la cohomologie singulière/Betti, la cohomologie cristalline et la cohomologie de de Rham : chaque théorie capture des informations chevauchantes mais distinctes (topologique, p-adique, algébrique), le choix de la cohomologie étale dépend donc des coefficients, du corps de base et des invariants recherchés.

Synthèse

La cohomologie étale est la cohomologie faisceautique adaptée à la géométrie algébrique : en travaillant sur le site étale et avec des coefficients appropriés elle recouvre l'intuition topologique tout en codant l'action arithmétique et en produisant les invariants centraux de la théorie des nombres moderne.