La cohomologie de groupe du groupe de Galois (généralement le groupe de Galois absolu profini) à coefficients dans un module galoisien ; elle fournit des invariants cohomologiques et des classes d'obstruction qui gouvernent la descente, les torseurs et les propriétés arithmétiques des corps et des variétés algébriques.

Principe

Transcrire l'information arithmétique et de descente en appliquant la cohomologie de groupe continue au groupe de Galois profini agissant sur des modules algébriques ou topologiques ; les suites exactes et les produits cup traduisent les structures algébriques en obstructions et invariants cohomologiques.

Démonstration

Pour un corps de nombres K et un module galoisien fini A, H^1(Gal(K̄/K),A) classe les A-torseurs et H^2 mesure souvent des obstructions (par exemple des éléments du groupe de Brauer empêchant l'existence de points rationnels) ; le calcul de H^1 pour un tore peut détecter des échecs de l'approximation faible.

Mauvaise application

Prendre la cohomologie galoisienne pour la cohomologie discrète d'un groupe sans imposer la continuité pour les groupes profinis, ou ignorer la nécessité d'utiliser la topologie correcte sur les modules ; supposer à tort l'annulation de groupes de cohomologie conduit à des conclusions de descente erronées.

Conséquence

Utilisée correctement, la cohomologie galoisienne produit des obstructions concrètes (obstructions local-global, éléments du groupe de Tate–Shafarevich), classe les torseurs et formes et fournit le langage des théorèmes de dualité et des lois de réciprocité.

Inversion

Au lieu d'étudier les groupes de cohomologie, on pourrait étudier les invariants de points fixes ou les cœchains explicites ; cette inversion fait perdre la théorie organisée des obstructions et les suites exactes fonctorielles fournies par la cohomologie.

Limite

S'applique aux groupes de Galois profinis, aux actions continues et aux modules galoisiens bien comportés (modules finis, représentations l-adiques) ; exclut l'usage naïf pour des actions non continues, des modules discrets infinis arbitraires ou des situations géométriques où la cohomologie étale est le bon outil.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la cohomologie étale ou la cohomologie de groupe ordinaire : la cohomologie galoisienne est la cohomologie de groupe munie de la topologie et d'un contenu arithmétique, tandis que la cohomologie étale opère sur des schémas et porte des données de faisceaux ; faire la distinction est essentiel en pratique.

Synthèse

La cohomologie galoisienne condense les symétries arithmétiques en groupes gradués dont les suites exactes, accouplements et obstructions encodent systématiquement la descente, les torseurs et les phénomènes de dualité sur les corps locaux et globaux.