Un zéro d'une fonction L p-adique en un point d'interpolation où la fonction L complexe correspondante ne s'annule pas ; de tels zéros proviennent de facteurs d'interpolation ou d'Euler s'annulant et produisent des anomalies dans les formules d'interpolation, exigeant des corrections par dérivée en théorie d'Iwasawa et en analyse p-adique.

Principe

Les zéros exceptionnels surviennent lorsque le facteur d'Euler local ou le facteur d'interpolation qui relie les valeurs p-adiques aux valeurs complexes s'annule au point spécial, de sorte que la poursuite analytique p-adique présente un zéro bien que la valeur complexe soit non nulle ; le principe est que l'annulation analytique au stade d'interpolation impose de remplacer les formules en valeurs par des formules en dérivées.

Démonstration

Dans le cas d'une série L p-adique attachée à une courbe elliptique à réduction multiplicative scindée en p, le facteur d'Euler en p s'annule au point central et produit un zéro exceptionnel ; la formule corrigée relie la dérivée de la fonction L p-adique à des invariants arithmétiques tels que le logarithme p-adique de la période de Tate (phénomène de Mazur–Tate–Teitelbaum).

Mauvaise application

Prendre un zéro exceptionnel comme preuve que la fonction L complexe sous-jacente s'annule ou confondre zéros exceptionnels et zéros triviaux issus de considérations de signe ; cela conduit à des conclusions arithmétiques incorrectes à moins de distinguer les zéros induits par l'interpolation des zéros arithmétiques.

Conséquence

Les zéros exceptionnels imposent de remplacer les énoncés naïfs sur les valeurs par des énoncés sur les coefficients dominants ou les dérivées (par exemple dans les conjectures principales d'Iwasawa ou les analogues p-adiques de Gross–Zagier), et ils entraînent des facteurs de correction (invariants L) qui relient les dérivées analytiques aux données arithmétiques.

Inversion

La situation opposée est un zéro régulier ou la non-annulation : lorsque les zéros p-adiques et complexes coïncident, aucune anomalie d'interpolation n'apparaît et les formules en valeurs suffisent sans termes de correction dérivés.

Limite

Phénomène spécifique aux fonctions L p-adiques et aux constructions d'interpolation pour des familles p-adiques de caractères ou de formes modulaires ; il n'apparaît pas pour les fonctions L complexes considérées comme objets analytiques complexes sauf si l'on tient compte des problèmes d'interpolation p-adique, et tout zéro d'une fonction L p-adique n'est pas « exceptionnel » au sens technique.

Tension sémantique

Il existe une tension entre « zéro exceptionnel » et « zéro trivial » : les deux sont des zéros forcés par des facteurs locaux ou de signe, mais les zéros exceptionnels désignent les zéros de l'interpolation p-adique en des points où la valeur complexe est non nulle et nécessitent donc des théories de correction différentes des zéros triviaux provenant d'équations fonctionnelles.

Synthèse

Un zéro exceptionnel est un zéro induit par l'interpolation d'une fonction L p-adique qui ne traduit pas une annulation de la valeur L complexe ; c'est une anomalie analytique imposant des formules dérivées et des corrections par invariants L qui relient l'analyse p-adique aux invariants arithmétiques.