Un invariant arithmétique d'un groupe algébrique connexe ou d'une variété abélienne sur un corps global défini comme le volume du quotient adélique G(A)/G(K) par rapport à une mesure canonique de Tamagawa ; il mesure le défaut des formules naïves produit-des-volumes-locales et apparaît dans des formules arithmétiques reliant points locaux et globaux.

Principe

La nombre de Tamagawa provient du choix de mesures de Haar compatibles en toutes les places (normalisées par des formes différentielles canoniques ou par des invariants locaux) et de la prise du produit des mesures sur le groupe adélique ; le principe est qu'un produit correctement normalisé de mesures locales donne un volume global fini dont l'écart par rapport à 1 encode des informations arithmétiques sur les points rationnels et les espaces homogènes principaux.

Démonstration

Pour le groupe multiplicatif G_m sur un corps de nombres, le nombre de Tamagawa vaut 1 après normalisations usuelles ; pour certains groupes semi-simples simplement connexes, le nombre de Tamagawa vaut aussi 1, tandis que pour les variétés abéliennes le facteur de Tamagawa en chaque place contribue au produit figurant dans la formule conjecturale de Birch et Swinnerton-Dyer.

Mauvaise application

Interpréter le nombre de Tamagawa comme un invariant indépendant de la normalisation de la mesure ou le confondre avec un comptage naïf de points rationnels ; omettre les choix canoniques ou la nécessité de diviser par les volumes des sous-groupes compacts aux places archimédiennes conduit à des valeurs erronées.

Conséquence

Le nombre de Tamagawa organise les données arithmétiques globales issues des mesures locales : lorsqu'il est fini et calculé correctement, il intervient dans des formules pour l'arithmétique des groupes algébriques et des variétés abéliennes (par exemple comme facteurs dans des formules de terme principal conjecturales), et sa nullité ou sa valeur non triviale peut signaler des obstructions aux principes locaux-globaux pour les torseurs.

Inversion

Au niveau local, on peut considérer à la place les volumes locaux individuels ou les facteurs de Tamagawa en une seule place ; l'inversion de la perspective produit globale consiste à étudier les mesures locales sans assembler le quotient adélique, ce qui perd le couplage arithmétique global entre les places.

Limite

Défini pour des groupes algébriques ou des variétés abéliennes sur des corps globaux où existe un choix canonique de mesures locales et où le quotient adélique a un volume fini ; il n'est pas défini directement pour des groupes de dimension infinie, pour des groupes sur corps locaux seuls, ni sans convention de normalisation des mesures.

Tension sémantique

Il existe une tension entre différentes normalisations des mesures locales (forme différentielle versus Haar choisi par des sous-groupes compacts) et entre la vision du nombre de Tamagawa comme simple volume et comme invariant arithmétique intervenant dans des formules conjecturales ; résoudre cela exige de préciser des mesures canoniques.

Synthèse

Le nombre de Tamagawa est le volume adélique canonique de G(A)/G(K) pour un groupe algébrique connexe ou une variété abélienne sur un corps global ; comme produit de mesures locales normalisées, il encode la manière dont les données locales s'assemblent en invariants arithmétiques globaux influençant points rationnels, torseurs et formules de terme principal.