Une courbe algébrique projective lisse de genre un munie d'un point rationnel distingué (l'origine) ; sur un corps de caractéristique ≠ 2,3 elle s'écrit souvent par une cubique de Weierstrass y^2 = x^3 + ax + b et porte une loi de groupe abélienne naturelle sur ses points rationnels.

Principe

Une cubique lisse de genre un avec un point rationnel choisi admet une construction géométrique par cordes et tangentes qui définit une structure de groupe commutatif algébrique sur l'ensemble de ses points rationnels ; des invariants arithmétiques (rang, torsion, conducteur) résument ses propriétés diophantiennes.

Démonstration

Sur Q, l'ensemble E(Q) des points rationnels d'une courbe elliptique E est un groupe abélien de type fini (Mordell–Weil) : par exemple la courbe y^2 = x^3 − x possède des points rationnels explicites qui engendrent un sous-groupe dont la structure peut être calculée et dont le rang mesure la partie libre.

Mauvaise application

Qualifier de courbe elliptique une cubique singulière (avec un nœud ou un cuspide) ou appliquer la loi de groupe par cordes et tangentes à un modèle réductible ou singulier ; confondre courbes elliptiques et fonctions elliptiques ou courbes de genre un dépourvues de point rationnel.

Conséquence

Les courbes elliptiques lient géométrie algébrique, arithmétique et analyse complexe : la connaissance de E sur divers corps donne des informations sur le groupe, les représentations galoisiennes et la modularité ; pratiquement, la structure de groupe permet des algorithmes de recherche de points rationnels, des constructions cryptographiques et l'étude de L-fonctions.

Inversion

La réversion est une cubique singulière (nodale ou cuspidale) ou une courbe de genre zéro : la structure de groupe géométrique et arithmétique se dégénère, le genre décroît et on perd la structure d'une variété abélienne qui caractérise une courbe elliptique.

Limite

La définition dépend du corps de base et exige la non-singularité et un point rationnel spécifié ; exclut les cubiques singulières, les courbes de genre supérieur et les tores purement analytiques complexes considérés sans structure algébrique ; les énoncés arithmétiques diffèrent selon les corps, les modèles entiers et les réductions modulo des premiers.

Tension sémantique

Concepts proches : tores complexes et fonctions elliptiques : analytiquement toute courbe elliptique sur C est un tore complexe, mais algébriquement « courbe elliptique » met l'accent sur un modèle algébrique et les points rationnels, tandis que « fonction elliptique » insiste sur la périodicité analytique ; les perspectives se recoupent mais soulignent des structures différentes.

Synthèse

Une courbe elliptique est à la fois une courbe algébrique lisse de genre un avec un point de base choisi et un groupe abélien algébrique concret : elle fournit un modèle cubique portant une loi de groupe dont l'arithmétique (rang, torsion) et les invariants analytiques (L-fonction, uniformisation complexe) relient géométrie, théorie des nombres et analyse.