Pour un domaine intègre R de corps des fractions K, un idéal fractionnaire est un R-sous-module I de K pour lequel il existe r non nul dans R tel que rI soit un idéal (intégral) de R. Les idéaux fractionnaires autorisent des dénominateurs et prolongent la théorie des idéaux de R à K tout en conservant la structure multiplicative.

Principe

Les idéaux fractionnaires sont des versions mises à l'échelle d'idéaux ordinaires à l'intérieur du corps des fractions ; l'existence d'un dénominateur commun r permet de les comparer aux idéaux intégraux et d'autoriser les opérations de multiplication et d'inversion.

Démonstration

Pour R = Z et K = Q, tout ensemble de la forme (a/b)Z = { (a/b)z : z dans Z } est un idéal fractionnaire : en multipliant par b on obtient aZ, un idéal ordinaire de Z. Dans un domaine de Dedekind tout idéal fractionnaire non nul est inversible.

Mauvaise application

Qualifier d'idéaux fractionnaires des sous-groupes additifs quelconques de K sans vérifier l'existence d'un r non nul dans R qui annule les dénominateurs, ou supposer que les idéaux fractionnaires sont des idéaux de R plutôt que des R-sous-modules de K.

Conséquence

Les idéaux fractionnaires forment un groupe abélien pour la multiplication d'idéaux (avec inversibilité dans certains anneaux), et leur comportement mesure l'obstruction à la principauté via le groupe des classes d'idéaux ; ils permettent de manipuler la divisibilité et l'information de classe multiplicativement.

Inversion

La perspective inverse est de se limiter aux idéaux intégraux seulement ; se restreindre aux idéaux de R fait perdre les inverses multiplicatifs et la structure de groupe que les idéaux fractionnaires rétablissent.

Limite

Les idéaux fractionnaires sont définis seulement pour des domaines intègres munis d'un corps des fractions ; ils n'ont pas de sens dans des anneaux avec diviseurs de zéro. Il faut distinguer les idéaux fractionnaires des idéaux d'extensions de R : un idéal fractionnaire est un R-sous-module de K, pas nécessairement un idéal de R lui-même.

Tension sémantique

Idéal fractionnaire versus idéal fractionnaire principal : tout idéal fractionnaire principal est engendré par un élément de K, mais les idéaux fractionnaires non principaux peuvent nécessiter plusieurs générateurs ou se comporter différemment sous l'inversion ; idéaux fractionnaires versus idéaux d'un sur-anneau constituent une tension d'interprétation.

Synthèse

Un idéal fractionnaire est un R-sous-module du corps des fractions qui devient un idéal ordinaire après effacement des dénominateurs par un élément non nul de R ; cette extension rétablit la structure de groupe multiplicatif des idéaux et est essentielle à l'étude du groupe des classes et de la factorisation dans les contextes de type Dedekind.