Une intersection de composantes de bord ou de sous-variétés caractérisée par un contact tangentiel d'ordre supérieur : les espaces tangents coïncident jusqu'à un certain ordre fini de sorte que la rencontre n'est pas transverse mais possède un ordre de contact m ≥ 2 (osculation) plutôt qu'un croisement de premier ordre.

Principe

Les intersections osculantes se structurent par la coïncidence des jets et l'ordre de contact ; deux composantes osculent lorsque leurs k-jets concident jusqu'à l'ordre m, et les conséquences géométriques (multiplicité, monodromie locale) résultent de cet ordre.

Démonstration

Deux courbes planes y = 0 et y = x^2 se rencontrent à l'origine avec un contact du second ordre : elles partagent la même tangente en l'origine mais coïncident aussi au niveau de la courbure jusqu'au premier ordre non trivial, donnant une Intersection Osculante d'ordre 2.

Mauvaise application

Confondre tout simple partage d'une tangente avec de l'oscultation sans vérifier la coïncidence des jets d'ordre supérieur, ou qualifier d'osculantes des courbes qui se croisent transversalement à proximité simplement parce qu'elles se touchent en un point.

Conséquence

L'osculation augmente la multiplicité locale d'intersection, modifie la stabilité face aux perturbations (de petites perturbations génériques peuvent séparer l'intersection en plusieurs points transverses) et affecte des quantités analytiques comme les résidus ou contributions de rotation.

Inversion

L'inverse est une intersection transverse, où les espaces tangents sont distincts et l'intersection est stable d'ordre un ; les croisements transverses ont un ordre d'intersection égal à un et un comportement de déformation différent.

Limite

Pertinent pour des sous-variétés lisses (C^k ou analytiques) où les jets et développements de Taylor sont définis ; exclut les intersections non lisses, fractales ou purement topologiques où l'ordre de contact n'est pas défini.

Tension sémantique

En tension avec l'usage informel de « tangence » : la tangence peut signifier le partage d'une tangente (ordre 1) ou une osculation d'ordre supérieur ; la distinction précise exige la spécification de l'ordre de contact plutôt que le terme ambigu « tangente ».

Synthèse

Une Intersection Osculante est une rencontre non transverse de composantes dont les jets coïncident jusqu'à un ordre supérieur, produisant une multiplicité d'intersection élevée et des propriétés de stabilité et de déformation particulières ; elle se caractérise par un ordre de contact explicite plutôt que par la seule coïncidence de tangentes.