Une configuration de composantes de bord ou de diviseurs qui se rencontrent transversalement de sorte que localement l'union est isomorphe à des hyperplans de coordonnées qui s'intersectent (pour deux composantes : localement xy = 0) ; on parle souvent de croisement normal simple lorsque les composantes sont lisses et les intersections pairwise transverses.

Principe

Transversalité des composantes en coordonnées locales : chaque composante est localement lisse et leurs espaces tangents se rencontrent en sous-espaces complémentaires de sorte que les intersections se comportent comme des axes de coordonnées, assurant la stabilité sous petites perturbations et une combinatoire locale maniable.

Démonstration

L'union des axes de coordonnées {x=0} ∪ {y=0} dans le plan affine est un croisement normal simple ; en géométrie algébrique, un diviseur a des croisements normaux s'il est localement défini par un produit de fonctions coordonnées.

Mauvaise application

Qualifier d'intersections «croisements normaux» des intersections tangentielles ou de multiplicité supérieure (tacnodes, cuspides ou plusieurs composantes se rencontrant non transverse) dénature l'exigence essentielle de transversalité et induit en erreur sur les propriétés de déformation et de résolution.

Conséquence

Les croisements normaux permettent des descriptions combinatoires (complexes duaux), des résolutions locales simples et des calculs plus directs des invariants d'intersection ; ils constituent une cible privilégiée dans les procédés de résolution des singularités.

Inversion

Si les composantes se rencontrent tangentiellement ou avec des multiplicités supérieures à un, la configuration n'est pas un croisement normal et nécessite généralement des éclatements ou d'autres opérations pour atteindre une forme à croisements normaux.

Limite

Se rapporte à des configurations analytiques ou algébriques locales de composantes lisses se rencontrant transversalement ; exclut les composantes singulières, les intersections non transverses et les configurations dont l'équation locale définissante ne peut se réduire à un produit de coordonnées indépendantes.

Tension sémantique

Souvent confondu, dans le langage courant, avec point double ordinaire ou nœud simple ; le croisement normal met l'accent sur un modèle transverse de composantes multiples en coordonnées, tandis que le nœud/point double insiste sur une singularité de croisement isolée sans toute la structure diviseur/diviseur.

Synthèse

Un croisement normal est la rencontre transverse et de type coordonnées de composantes lisses : localement équivalent à des hyperplans de coordonnées qui s'intersectent, fournissant des singularités stables et combinatoirement maniables, centrales pour la théorie des résolutions et des dégénérescences.