Un modèle local d'immersion d'une surface non orientable dans l'espace tridimensionnel montrant une auto-intersection unilatérale appelée cross-cap ; il représente l'image locale d'un voisinage du plan projectif sous une immersion identifiant les directions opposées, produisant un lieu double caractéristique.

Principe

Provient d'une immersion d'un patch local non orientable (par exemple un voisinage d'un point du plan projectif) dans R^3 ; l'immersion est localement de rang deux en général mais l'identification des directions opposées produit une auto-intersection transverse dont la topologie locale est unilatérale plutôt que de se terminer en un pincement.

Démonstration

Une immersion d'un petit disque avec identification inversant l'orientation peut produire un aspect local avec une courbe double transverse où la surface n'a qu'un seul côté ; contrairement au parapluie de Whitney, le lieu double se prolonge typiquement au lieu de se terminer en un point de pincement.

Mauvaise application

Qualifier toute auto-intersection unilatérale de cross-cap — par exemple étiqueter un parapluie de Whitney ou une courbe double transverse arbitraire sans vérifier le comportement d'immersion et d'orientation — confond des phénomènes d'immersion apparentés mais distincts.

Conséquence

Une cross-cap signale la non-orientabilité locale de la surface immergée et contraint les plongements et isotopies possibles ; c'est l'obstruction locale à réaliser un voisinage à deux faces plongé dans l'espace tridimensionnel.

Inversion

Si l'auto-intersection locale se termine en un point de pincement ou provient d'un germe d'application avec perte de rang plutôt que d'une immersion avec inversion d'orientation, la singularité n'est pas une cross-cap mais plutôt un parapluie de Whitney ou une autre singularité de type pincement.

Limite

Concerne les immersions de surfaces dans l'espace à trois dimensions et les modèles locaux de patchs non orientables ; exclut les phénomènes d'auto-intersection purement plongés sans identifications inversant l'orientation et les singularités en points de pincement dues à une perte de rang.

Tension sémantique

Partage des caractéristiques avec le parapluie de Whitney et avec les immersions à courbe double transverse ; la distinction sémantique est que la cross-cap exprime la non-orientabilité locale avec un lieu double continu, tandis que le parapluie implique un pincement terminal et une perte de rang.

Synthèse

La cross-cap est la manifestation locale, du point de vue de l'immersion, de la non-orientabilité dans l'espace tridimensionnel : une identification inversant l'orientation produit une auto-intersection unilatérale (un lieu double continu) qui fait obstacle à une plongée locale à deux faces.