L'étude des propriétés et structures géométriques sur des variétés différentiables en utilisant des outils du calcul, des équations différentielles, de l'analyse tensorielle et des connexions ; englobe les fibrés tangents, formes différentielles, métriques riemanniennes, connexions, courbure, géodésiques et holonomie.

Principe

Les données différentielles locales (dérivées, connexions, courbure) s'organisent en invariants géométriques globaux ; la différentiabilité permet des constructions calculatoires qui relient le comportement infinitésimal à la topologie et à la géométrie globales.

Démonstration

Considérer une sphère à deux dimensions plongée dans l'espace euclidien : lui donner la métrique riemannienne induite, calculer la courbure gaussienne en chaque point, étudier les géodésiques (les grands cercles) et appliquer la relation de Gauss-Bonnet pour relier la courbure totale à la caractéristique d'Euler de la sphère.

Mauvaise application

Appliquer des formules exigeant une structure différentiable à des espaces singuliers ou discrets (par exemple traiter une surface polyédrique comme si elle possédait une connexion lisse globale) ou supposer l'existence d'une métrique riemannienne vérifiant certaines propriétés sans vérifier la compatibilité lisse.

Conséquence

Appliquée correctement, la géométrie différentielle fournit des invariants calculables (tenseurs de courbure, classes caractéristiques), des descriptions explicites des flux géodésiques, des résultats de classification en basses dimensions et des liens avec la physique (mécanique classique, relativité générale) et l'analyse sur variétés.

Inversion

Inverser en prenant un point de vue purement topologique ou algébrique : ignorer la structure différentiable et étudier la variété sous-jacente d'un point de vue homéomorphe ou en tant que variété algébrique ; de nombreux invariants différentiels disparaissent ou deviennent inaccessibles sans lissité.

Limite

S'applique uniquement aux variétés différentiables (ou suffisamment régulières) et aux applications lisses ; exclut les problèmes purement combinatoires, purement métriques ou les variétés algébriques sur corps quelconques sauf si une structure différentiable est présente ; les espaces singuliers relèvent de théories distinctes.

Tension sémantique

Chevauche la géométrie riemannienne (qui met l'accent sur les métriques) et l'analyse géométrique (qui met l'accent sur les EDP sur variétés) ; une tension apparaît quand la notion de courbure reçoit des interprétations analytiques et topologiques ou quand la géométrie algébrique propose des 'différentiels' analogues en l'absence de lissité.

Synthèse

La géométrie différentielle est le cadre fondé sur le calcul qui décrit comment des données linéaires infinitésimales sur une variété différentiable se combinent en informations géométriques globales, permettant le calcul et la classification de la courbure, des géodésiques et de leurs conséquences topologiques.