Énoncé : le quadrilatère formé en joignant les milieux des côtés de n'importe quel quadrilatère (plan) est un parallélogramme ; ceci vaut pour les quadrilatères convexes, concaves et auto-intersectants en géométrie euclidienne plane.

Principe

La liaison des milieux produit une annulation linéaire : relier les milieux successifs des côtés donne des côtés opposés parallèles et égaux car chaque côté du quadrilatère des milieux correspond à la demi-somme de deux vecteurs côtés adjacents de l'original.

Démonstration

Pour le quadrilatère ABCD, soient E,F,G,H les milieux de AB,BC,CD,DA. Alors vecteur EF = (B−A)/2 + (C−B)/2 = (C−A)/2 et vecteur GH = (D−C)/2 + (A−D)/2 = (A−C)/2 = −(C−A)/2, donc EF et GH sont parallèles et de même longueur, d'où EFGH est un parallélogramme. Pour un rectangle initial, le quadrilatère des milieux est un rectangle aux demi-longueurs des côtés.

Mauvaise application

Supposer que le parallélogramme de Varignon hérite d'autres propriétés spéciales du quadrilatère d'origine (par exemple être rectangle ou losange) sans conditions supplémentaires ; ou appliquer le résultat dans des contextes non euclidiens où les notions de milieu et de parallélisme diffèrent.

Conséquence

Offre une construction simple pour obtenir un parallélogramme à partir de n'importe quel quadrilatère, donne une relation d'aire (l'aire du parallélogramme de Varignon vaut la moitié de l'aire du quadrilatère original pour l'aire signée) et fournit des simplifications vectorielles et barycentriques dans les raisonnements sur polygones.

Inversion

Une inversion affirmerait que tout parallélogramme est le quadrilatère des milieux d'un certain quadrilatère ; bien que réalisable à la source par transformation affine et choix appropriés, la réciproque simple nécessite la construction des sommets originaux et n'est pas unique. On peut aussi contraster avec les polygones d'ordre supérieur où la généralisation des milieux diffère.

Limite

S'applique aux quadrilatères plans en géométrie euclidienne et ne requiert pas la convexité ; elle échoue dans les géométries dépourvues de notion claire de milieu ou de parallélisme. Le théorème est spécifique à la jonction des milieux dans l'ordre cyclique ; d'autres ordres donnent d'autres figures.

Tension sémantique

Tension entre le parallélogramme de Varignon et des affirmations plus fortes sur les milieux (par exemple que les milieux produisent toujours un rectangle) : des hypothèses supplémentaires (orthogonalité, côtés adjacents égaux) sont nécessaires pour obtenir des types plus particuliers.

Synthèse

Le théorème de Varignon montre que relier simplement les milieux des côtés transforme linéairement tout quadrilatère en un parallélogramme : par demi-sommes vectorielles, les côtés opposés deviennent égaux et parallèles, produisant des relations d'aire et de centroïdes utiles en géométrie affine et barycentrique.