L'exposant s≥0 pour lequel la mesure de Hausdorff s-dimensionnelle d'un ensemble métrique passe de l'infini à zéro ; un invariant quantitatif qui caractérise l'échelle fractale d'un ensemble en mesurant le comportement de la mesure par recouvrements raffinés.

Principe

Comparer des recouvrements par des ensembles de diamètre ≤δ et étudier l'exposant critique s pour lequel l'infimum de Σ (diamètre)^s passe de ∞ à 0 quand δ→0 ; l'invariance d'échelle de cet exposant critique sous applications bi-Lipschitz (à des constantes près) est essentielle.

Démonstration

L'ensemble de Cantor obtenu en retirant le tiers central a pour dimension de Hausdorff ln 2 / ln 3, car des recouvrements par 2^n intervalles de longueur 3^{-n} conduisent à l'équation 2^n(3^{-n})^s≈1, d'où s = ln2/ln3. Une sous-variété lisse de dimension k dans R^n a dimension de Hausdorff k.

Mauvaise application

Confondre dimension de Hausdorff et dimension topologique pour tout ensemble, ou utiliser des estimations de type boîte sans vérifier les limites ; supposer que la dimension de Hausdorff détermine la positivité de la mesure de Lebesgue sans vérifier la mesure de Hausdorff correspondante.

Conséquence

Fournit une mesure numérique précise de la mise à l'échelle locale et globale, distingue des ensembles de même dimension topologique, et contrôle pour quelles valeurs de s la mesure de Hausdorff H^s est nulle ou infinie ; utilisée en dynamique, théorie géométrique des mesures et potentiel.

Inversion

La perspective complémentaire est la dimension d'empilement ou de Minkowski (box-counting) qui borne souvent la dimension de Hausdorff par le haut ; dans certains exemples la dimension d'empilement excède strictement la dimension de Hausdorff, inversement au caractère minimal de cette dernière.

Limite

Définie pour des sous-ensembles d'espaces métriques ; nécessite une métrique pour mesurer les diamètres. Elle n'est pas directement applicable à des objets purement algébriques sans métrique induite. La dimension locale peut varier ; la dimension de Hausdorff est un exposant global.

Tension sémantique

Conflit fréquent avec la dimension de Minkowski/box-counting et avec les notions liées à la mesure (p. ex. la mesure de Hausdorff en un s fixé) ; on peut confondre des estimations numériques par recouvrements avec l'exposant critique théorique.

Synthèse

La dimension de Hausdorff est l'exposant critique de mise à l'échelle obtenu à partir du comportement de la mesure de Hausdorff sous recouvrements arbitrairement fins ; c'est un invariant métrique qui saisit la géométrie fractale et complète d'autres notions de dimension en mettant l'accent sur le seuil de mesure fine.