Évolution parabolique géométrique d'une hypersurface dans une variété riemannienne où chaque point se déplace selon la normale à la vitesse donnée par la courbure moyenne en ce point ; souvent abrégé MCF.

Principe

C'est le flux gradient L2 de la fonction aire : la vitesse normale est égale au vecteur de courbure moyenne, de sorte que la surface évolue pour diminuer l'aire de la manière la plus efficace permise localement par la géométrie.

Démonstration

Une sphère ronde dans l'espace euclidien se contracte de façon auto-similaire sous le flux de courbure moyenne et s'effondre en un point en temps fini ; en revanche, un col étroit sur une surface immergée peut développer une singularité de type pincement qui modifie la topologie.

Mauvaise application

Considérer le flux de courbure moyenne comme un processus de diffusion linéaire ou tirer des conclusions de régularité globale sans vérifier la formation de singularités et la divergence de la courbure.

Conséquence

Bien appliqué, le flux lisse les irrégularités, réduit l'aire et peut simplifier la géométrie et la topologie jusqu'à l'apparition de singularités ; des quantités monotones fournissent des contrôles locaux et des classifications des blow-up.

Inversion

Le flux inverse de courbure moyenne déplace les surfaces vers l'extérieur avec une vitesse liée à l'inverse de la courbure moyenne et augmente généralement l'aire ; ce n'est pas simplement l'inverse temporel du MCF dans la plupart des contextes.

Limite

S'applique aux hypersurfaces immergées ou plongées dans des variétés riemanniennes ; exclut les termes de forçage non géométriques, les curvatures anisotropes et les flux d'algèbres métriques intrinsèques (comme le flot de Ricci) sauf couplage explicite.

Tension sémantique

On le confond souvent avec le flot de Ricci parce que les deux sont des EDP paraboliques géométriques ; le MCF agit sur des plongements (géométrie extrinsèque) tandis que le flot de Ricci agit sur des métriques intrinsèques.

Synthèse

Le flux de courbure moyenne est le flux gradient extrinsèque qui pousse une hypersurface vers des configurations de moindre aire en déplaçant les points selon la normale à la vitesse de la courbure moyenne, produisant lissage local et possibles singularités en temps fini.