Une borne inférieure strictement positive dans le spectre d'un opérateur linéaire qui sépare une partie distinguée du reste du spectre : il existe ε>0 tel qu'aucune valeur spectrale n'appartient à (0,ε).

Principe

La séparation quantitative des échelles spectrales isole les modes d'énergie faible (ou lents), ce qui permet de contrôler le comportement macroscopique ou à long terme par la partie distinguée de dimension finie.

Démonstration

Sur une variété riemannienne compacte, l'opérateur de Laplace–Beltrami possède une lacune spectrale lorsque la première valeur propre non nulle λ1>0. Cette lacune entraîne une inégalité de Poincaré et une décroissance exponentielle vers l'équilibre pour le semi-groupe de la chaleur.

Mauvaise application

Confondre la lacune spectrale d'une matrice finie avec celle d'un opérateur non borné sans vérifier le spectre essentiel, ou affirmer l'existence d'une lacune alors que le spectre continu s'accumule au point distingué.

Conséquence

En présence d'une lacune, on obtient une stabilité quantitative : mélange exponentiel, inégalités de concentration, phénomènes de rigidité en géométrie et pour les actions de groupes, et contrôle des perturbations.

Inversion

L'absence de lacune signifie que des valeurs spectrales s'accumulent au point distingué (ou que le spectre continu le traverse), produisant une décroissance lente (polynomiale ou sous-exponentielle), un manque de mélange uniforme ou plusieurs états invariants.

Limite

Le concept s'énonce pour des opérateurs linéaires sur espaces de Hilbert ou de Banach ; pour les opérateurs non auto-adjoints les notions varient (pseudospectre, ensemble numérique). Il ne s'applique pas directement aux spectres non linéaires ou à des « lacunes » purement combinatoires sans cadre d'opérateur.

Tension sémantique

On le confond souvent avec une lacune du rayon spectral, avec une lacune du spectre discret mais non du spectre essentiel, ou avec des inégalités fonctionnelles (par ex. Poincaré) qui ne sont équivalentes qu'à des hypothèses supplémentaires.

Synthèse

La lacune spectrale est la séparation spectrale quantifiée qui isole les modes de basse énergie, permettant de contrôler la dynamique et la géométrie via décroissance exponentielle, stabilité et rigidité.