Une définition d'un déterminant pour des opérateurs elliptiques (typiquement positifs) via la fonction zêta spectrale : si {λ_j} sont les valeurs propres positives, on forme ζ(s) = ∑ λ_j^{-s}, on prolonge analytiquement ζ(s) en s = 0 et on définit det' A = exp(−ζ'(0)). Cette régularisation rend significatif le produit infini divergent des valeurs propres et fournit des invariants spectraux utiles.

Principe

Remplacer le produit formel ∏ λ_j par exp(−d/ds ζ(s)|_{s=0}) où ζ(s) est le prolongement méromorphe de la somme des puissances des valeurs propres ; la construction exige la continuation méromorphe et le contrôle des petites valeurs propres, et des choix comme la coupure spectrale peuvent affecter l'information de phase.

Démonstration

Pour le laplacien sur le cercle de longueur L, les valeurs propres croissent comme (2πn/L)^2 ; en formant la fonction zêta, en la prolongeant en s = 0 et en différentiant on obtient un déterminant dépendant de L conformément aux produits régularisés d'autovaleurs connus.

Mauvaise application

Considérer le déterminant zêta comme multiplicatif pour des suites exactes arbitraires d'opérateurs ou ignorer les modes nuls sans modifier la définition conduit à des contradictions ; étendre la formule naïve au spectre continu ou aux opérateurs non elliptiques est invalide sans adaptation.

Conséquence

Les déterminants régularisés par zêta produisent des invariants spectraux finis utilisés pour définir la torsion analytique, les déterminants à une boucle en théorie quantique des champs et des invariants scalaires métriques en géométrie spectrale ; ils permettent la continuation analytique de produits spectraux divergents.

Inversion

La réciproque naïve est le produit infini littéral ∏ λ_j qui diverge ; la régularisation par zêta remplace cette divergence par une valeur finie et analytiquement significative. D'autres régularisations (noyau de chaleur, dimensionnelle) peuvent différer par constantes de renormalisation calculables.

Limite

S'applique aux opérateurs de spectre discret et positif comme les opérateurs elliptiques sur variétés compactes (ou avec conditions aux bords appropriées) ; pour des opérateurs à spectre continu ou sans continuation méromorphe de la zêta il faut adapter la définition (déterminants d'éparpillement, zêta relatifs, etc.).

Tension sémantique

Il existe une tension avec les déterminants de Fredholm ou de classe trace en théorie des opérateurs : les déterminants régularisés par zêta régularisent des produits d'autovaleurs pour opérateurs elliptiques, tandis que les déterminants de Fredholm s'appliquent à I + perturbations compactes et possèdent des propriétés de multiplicativité différentes.

Synthèse

Le déterminant régularisé par zêta convertit le produit divergent des valeurs propres d'un opérateur elliptique en la quantité finie exp(−ζ'(0)) grâce à la continuation analytique de la fonction zêta spectrale ; cela fournit des invariants spectraux robustes, centraux pour la torsion analytique et la géométrie spectrale.