Un invariant spectral d'une variété riemannienne fermée (éventuellement munie d'un fibré vectoriel plat) défini comme un produit pondéré des déterminants régularisés par zêta des laplaciens de Hodge sur les formes différentielles ; il raffine la torsion combinatoire de Reidemeister par des moyens analytiques et dépend subtilement du spectre des laplaciens selon les degrés.

Principe

Construire pour chaque degré k les fonctions zêta ζ_k(s) des laplaciens sur les k-formes, former les déterminants régularisés det' Δ_k = exp(−ζ_k'(0)), puis les combiner avec des poids alternés en degré pour obtenir la torsion analytique T = ∏_k (det' Δ_k)^{(−1)^{k} k/2} ; sous des conditions favorables, cette torsion analytique coïncide avec la torsion de Reidemeister.

Démonstration

Sur une variété fermée de dimension impaire avec un fibré plat acyclique, on calcule ζ_k(s) à partir des valeurs propres non nulles de Δ_k, on régularise pour obtenir det' Δ_k et on assemble T ; pour des espaces lenticulaires et certaines formes sphériques ces calculs fournissent des valeurs explicites concordant avec la torsion combinatoire à normalisation près.

Mauvaise application

Utiliser la torsion analytique sans retirer les zéros du spectre ou en ignorant que la représentation du fibré n'est pas unitaire entraîne des phases mal définies ou des facteurs divergents ; traiter l'invariant comme totalement indépendant de la métrique méconnaît sa dépendance subtile et les hypothèses nécessaires pour l'égalité avec la torsion de Reidemeister.

Conséquence

La torsion analytique crée un pont entre géométrie spectrale et topologie combinatoire : lorsque le théorème de Cheeger–Müller s'applique, la torsion analytique égale la torsion de Reidemeister, fournissant des preuves analytiques d'invariants topologiques et contribuant à des invariants raffinés en théorie quantique des champs et en géométrie d'Arakelov.

Inversion

La réciproque est le point de vue combinatoire : reconstruire des déterminants spectraux à partir d'une torsion de Reidemeister donnée exige des données analytiques supplémentaires ; conceptuellement, remplacer des données spectrales analytiques par des informations de complex de chaînes perd l'accès direct à la géométrie spectrale.

Limite

Définie pour les variétés fermées ou pour les variétés à bord lorsque des conditions aux bords appropriées sont imposées ; nécessite le contrôle des modes nuls (l'acyclicité simplifie la définition) et est délicate pour les fibrés plats non unitaires ou en présence de spectre continu.

Tension sémantique

Se situe entre les déterminants régularisés par zêta spectraux et la torsion combinatoire (Reidemeister) : la tension porte sur le fait de considérer la torsion comme un objet spectral analytique ou comme un invariant topologique combinatoire, et sur les hypothèses supplémentaires qui assurent leur égalité.

Synthèse

La torsion analytique condense les déterminants spectraux régularisés des laplaciens selon les degrés en un invariant unique qui capture une information topologique raffinée ; sous les hypothèses adéquates, il coïncide avec la torsion de Reidemeister, reliant ainsi analyse, topologie et géométrie.