Rupture localisée de la régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles, concentrée le long d'une arête (locus de bord unidimensionnel) où les estimations elliptiques ou paraboliques usuelles échouent et où les asymptotiques des solutions présentent une dépendance angulaire non régulière.

Principe

Lorsque la géométrie ou les conditions au bord créent un lieu de codimension deux (une arête), le comportement local se sépare en directions radiales/longitudinales et en modes angulaires transverses ; la régularité elliptique est gouvernée par le spectre d'un opérateur transverse associé, entraînant des asymptotiques en puissance ou logarithmiques le long de l'arête.

Démonstration

Pour l'équation de Laplace sur un domaine polyédrique en trois dimensions avec une arête rentrante : au voisinage d'un point de l'arête, la solution se développe en r^{λ} multiplié par des fonctions propres angulaires sur la section transversale en coin, certains λ pouvant avoir une partie réelle négative ou des valeurs non entières, ce qui réduit la régularité dans les espaces de Sobolev le long de l'arête.

Mauvaise application

Considérer la singularité d'arête comme une singularité ponctuelle amovible et appliquer des estimations H^k non pondérées à travers l'arête ; ou ne raffiner le maillage numérique que transversalement en laissant l'arête non résolue, conduisant à une convergence artificielle et à des taux d'erreur erronés.

Conséquence

Son identification correcte impose l'usage d'espaces de Sobolev pondérés ou des espaces de Kondrat'ev, un raffinement de maillage adapté et des analyses de couche limite modifiées ; elle explique la perte de dérivées dans les théorèmes de trace le long des arêtes et l'existence d'obstructions de dimension finie à la régularité.

Inversion

Remplacer l'arête aiguë par un congé C^∞ ou imposer des conditions au bord éliminant les modes transverses problématiques supprime la singularité d'arête et restaure la régularité locale classique.

Limite

Concerne les EDP sur des domaines dont le bord contient des arêtes (polyèdres, variétés à coins de codimension deux) ; n'englobe pas les singularités intérieures isolées causées uniquement par des sources distributionnelles ou des phénomènes de résonance globaux non localisés sur une arête géométrique.

Tension sémantique

Se distingue de la singularité conique (ponctuelle) : les deux produisent des asymptotiques en puissance, mais l'arête est étendue et couple la régularité le long de l'arête aux données spectrales transverses, alors que la conique est localisée en un point.

Synthèse

La singularité d'arête est le phénomène par lequel un lieu de bord étendu impose des modes de solution déterminés par un problème spectral transverse, générant des asymptotiques non régulières caractéristiques le long de l'arête et nécessitant des espaces fonctionnels pondérés ainsi qu'une analyse adaptée des couches limites.