Une technique pour construire une solution du problème de Dirichlet en prenant l'enveloppe supérieure de toutes les fonctions sous-harmoniques majorées par les données de bord prescrites (ou, dualement, l'enveloppe inférieure des surharmoniques) ; la solution de Perron ainsi obtenue est harmonique dans le domaine là où l'enveloppe est finie et atteint les valeurs au bord aux points réguliers.

Principe

Utiliser des familles monotones de fonctions sous-harmoniques (ou sur-harmoniques) et le principe du maximum pour former des enveloppes extrémales qui sont harmoniques partout où elles sont finies ; la régularité au bord se teste alors par l'égalité de l'enveloppe avec la donnée de bord au point considéré.

Démonstration

Sur le disque unité avec des données continues au bord, l'enveloppe supérieure de Perron des sous-harmoniques majorées par la donnée au bord coïncide avec l'intégrale de Poisson classique, retrouvant la solution harmonique ; en des points irréguliers l'enveloppe peut échouer à atteindre la valeur au bord.

Mauvaise application

Appliquer la méthode de Perron sans vérifier les conditions d'admissibilité (par exemple autoriser des sous-harmoniques non majorées près du bord) peut conduire à des enveloppes identiquement égales à −∞ ou qui ne sont pas harmoniques ; négliger la semi-continuité des données au bord peut aussi invalider les conclusions.

Conséquence

Quand la méthode de Perron fournit une fonction harmonique finie qui prend les données au bord en chaque point du bord, elle produit une solution du problème de Dirichlet ; combinée aux critères de barrière ou de Wiener elle offre une méthode pour décider la résolubilité point par point.

Inversion

L'échec de la construction de Perron à produire les valeurs au bord désirées révèle un comportement irrégulier du bord ou une véritable insolvabilité du problème de Dirichlet classique pour les données données ; dans ces cas il faut affaiblir la notion de solution ou modifier la formulation du problème.

Limite

La méthode est conçue pour des opérateurs elliptiques linéaires où les notions de sous- et surharmoniques et le principe de comparaison tiennent ; les extensions aux opérateurs non linéaires exigent un cadre de Perron analogue pour sous- et sur-solutions avec des hypothèses structurelles supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre Perron (une construction extrémale par enveloppes) et les approches variationnelles ou des solutions faibles : Perron produit des candidats harmoniques au sens ponctuel sous contrôle du principe du maximum, tandis que les méthodes faibles donnent des solutions en sens Sobolev ou distributionnel qui peuvent diverger aux points irréguliers du bord.

Synthèse

La méthode de Perron transforme le problème analytique de trouver une fonction harmonique avec des valeurs prescrites au bord en une construction extrémale sur des familles admissibles de fonctions sous- ou surharmoniques ; son succès ou son échec en un point du bord encode les mêmes phénomènes géométrico-mesurables captés par les barrières et les critères de Wiener.