L'existence, en un point du bord, d'une fonction superharmonique positive (une barrière) définie dans un voisinage du point, s'annulant au point et strictement positive dans le voisinage percé, qui force les enveloppes de Perron à atteindre la valeur au bord et garantit ainsi la résolubilité ponctuelle.

Principe

Une barrière empêche les obstructions sousharmoniques non triviales en fournissant un dominant superharmonique qui écrase les solutions supérieures et inférieures de Perron vers la valeur de bord prescrite ; l'existence d'une telle barrière est un certificat local et constructif de régularité.

Démonstration

Pour la boule unité en R^n, la fonction x↦|x−x0|^{2−n} (ou une variante tronquée et bornée) sert de barrière modèle près d'un point lisse x0 du bord lorsque n≥3 ; construire une fonction superharmonique positive qui explose à l'éloignement mais s'annule en x0 montre que x0 est régulier.

Mauvaise application

Employer une fonction seulement sous-harmonique, ou une fonction superharmonique qui ne s'annule pas précisément au point, invalide l'argument de barrière ; de même, supposer l'existence d'une barrière globale à partir d'une vérification locale peut être faux dans des domaines à géométrie compliquée.

Conséquence

Si une barrière existe en x0, alors toute donnée continue au bord est atteinte par la solution de Perron en x0 ; la barrière fournit un contrôle local explicite des approximants harmoniques et garantit la régularité ponctuelle au bord.

Inversion

La négation — absence de toute barrière superharmonique en x0 — signale une irrégularité possible : il peut exister des données continues au bord que la construction de Perron ne parvient pas à atteindre en ce point, ou la solution peut présenter des valeurs limites non uniques.

Limite

La notion se situe pour des opérateurs elliptiques linéaires où les fonctions superharmoniques et le principe du maximum sont disponibles ; pour des équations non linéaires il faut une notion correspondante de sur-solution et des constructions de barrières adaptées, parfois plus délicates ou inexistantes.

Tension sémantique

Tensions avec des critères capacitaires comme Wiener : les barrières sont constructives et centrées sur des fonctions alors que Wiener est de nature métrique-capacitaire ; sous des hypothèses classiques les deux sont équivalents, mais en pratique l'un peut être plus simple à vérifier que l'autre selon les outils disponibles.

Synthèse

La condition de barrière fournit un certificat local et fonctionnel de régularité au bord : l'existence d'une superharmonique adaptée s'annulant au point assure que les enveloppes de Perron rencontrent les données au bord et, sous ellipcticité standard, équivaut aux critères capacitaires tels que Wiener.