Un principe de solvabilité pour opérateurs linéaires compacts ou de Fredholm affirmant que pour Lx = f soit le problème homogène Lx = 0 n'a que la solution triviale et L est surjectif (donc Lx=f solvable pour tout f), soit le problème homogène admet des solutions non triviales et Lx=f est solvable précisément quand f est orthogonal à tout élément de l'espace des solutions du problème adjoint homogène.

Principe

La règle organisatrice est la dichotomie de dimension finie du noyau et du conoyau pour les opérateurs de Fredholm : index(L)=dim ker L − dim coker L gouverne la solvabilité ; l'orthogonalité au noyau adjoint (condition d'alternative de Fredholm) caractérise l'image quand le noyau est non trivial.

Démonstration

Équations intégrales du second type sur un espace de Hilbert avec L = I − K et K compact. Si 1 n'est pas valeur propre de K, (I−K) est inversible et (I−K)u = f admet une solution unique pour tout f. Si 1 est valeur propre, la solvabilité exige que f soit orthogonal à toutes les solutions v de l'équation homogène adjointe (I−K^*)v = 0.

Mauvaise application

Appliquer l'alternative de Fredholm à des opérateurs non-Fredholm (par exemple opérateurs avec spectre continu ou opérateurs non bornés non-Fredholm), ou traiter les conditions d'orthogonalité comme suffisantes pour l'unicité au lieu de l'existence, conduit à des erreurs.

Conséquence

Fournit un critère net séparant existence et unicité, donne des relations de dimensions pour les espaces de solutions et guide la construction d'inverses généralisés et de conditions de solvabilité pour problèmes aux limites et intégrales.

Inversion

Dans des cadres non-Fredholm (opérateurs avec spectre essentiel ou conoyau de dimension infinie) il n'existe pas d'alternative simple : la solvabilité dépend de mesures spectrales plus fines, du comportement du spectre continu ou d'obstructions distributionnelles plutôt que d'une condition d'orthogonalité finie.

Limite

Valable pour les opérateurs de Fredholm sur espaces de Banach ou Hilbert et pour les perturbations compactes de l'identité ; elle exclut de nombreux opérateurs différentiels non bornés sans propriété de Fredholm, les opérateurs dont le spectre essentiel intervient, et les problèmes non linéaires sans linéarisation appropriée.

Tension sémantique

Tension entre l'alternative de Fredholm et d'autres cadres de solvabilité : la théorie de Riesz–Schauder pour opérateurs compacts met l'accent sur le spectre discret, tandis que les approches de pseudo-inverse insistent sur les familles de solutions paramétrées ; il faut choisir la perspective adaptée à la classe d'opérateurs.

Synthèse

L'Alternative de Fredholm est une affirmation dichotomique de solvabilité pour opérateurs linéaires de Fredholm/compacts : soit l'opérateur est inversible et toutes les sources droite sont solvables, soit il existe un espace homogène de dimension finie et la solvabilité s'exprime exactement par une condition d'orthogonalité vis-à-vis de l'adjoint.