Inégalité bornant l'intégrale (ou la somme) du produit de deux fonctions mesurables par le produit de leurs normes L^p et L^q lorsque les exposants p et q sont conjugués (1/p + 1/q = 1).

Principe

Pour 1 ≤ p,q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, si f∈L^p et g∈L^q alors fg est intégrable et ∫ |f g| ≤ ||f||_p ||g||_q. La forme générale s'étend à des familles finies via l'inégalité de Hölder pour plusieurs facteurs avec réciproques des exposants sommant à 1.

Démonstration

Exemple : pour p=q=2 sur un espace de probabilité, Hölder devient l'inégalité de Cauchy–Schwarz : |∫ f g| ≤ ||f||_2 ||g||_2. Concrètement, pour des signaux à carré intégrable f et g, le produit scalaire est borné par le produit des normes L^2.

Mauvaise application

Essayer d'appliquer Hölder avec des exposants non conjugués ou avec des fonctions qui ne sont pas dans les espaces L^p indiqués est invalide ; de même, utiliser Hölder pour p<1 échoue car L^p n'est alors pas un espace normé et l'inégalité ne tient pas.

Conséquence

Hölder fournit un outil fondamental pour estimer intégrales et sommes, établir la dualité entre L^p et L^q, et déduire d'autres inégalités (Minkowski, Young) ainsi que la bornitude d'opérateurs linéaires.

Inversion

Il n'existe pas d'inégalité générale réciproque : on ne peut pas majorer ||f||_p ||g||_q par ∫ |f g| en général. Le cas d'égalité caractérise des conditions de proportionnalité entre |f|^p et |g|^q (à des ensembles nuls près).

Limite

Valide pour 1 ≤ p,q ≤ ∞ avec conjuguaison 1/p+1/q=1 ; exclut les régimes quasi-normes p<1 et exige l'appartenance de f et g aux espaces L^p et L^q correspondants.

Tension sémantique

Des tensions apparaissent avec Minkowski (inégalité triangulaire dans L^p) et Young (convolution) ; conceptuellement Hölder échange l'intégrabilité entre facteurs tandis que d'autres inégalités gèrent la sommation ou la convolution.

Synthèse

L'inégalité de Hölder affirme que l'intégrale d'un produit est contrôlée par le produit des normes L^p pour exposants conjugués, fondant la dualité des normes et les estimations dans l'analyse.