Une famille de mesures extérieures sur un espace métrique définie pour chaque paramètre de dimension d≥0 en recouvrant les ensembles par des ensembles de diamètre arbitrairement petit et en sommant la puissance d de ces diamètres (éventuellement avec une constante) ; ces mesures extérieures généralisent la longueur, l'aire et le volume et détectent l'échelle fractale.

Principe

La mesure de Hausdorff organise la taille par mise à l'échelle : l'exposant d pondère les recouvrements de sorte qu'à la valeur critique (la dimension de Hausdorff) la mesure passe entre l'infini et zéro, capturant la structure géométrique fine des ensembles au-delà des dimensions entières.

Démonstration

Sur R avec la métrique usuelle la mesure de Hausdorff en dimension 1 coïncide avec la longueur de Lebesgue sur les ensembles boréliens ; pour l'ensemble de Cantor du tiers moyen la mesure de Hausdorff à sa dimension de Hausdorff est positive et finie tandis qu'elle s'annule pour d plus grands et est infinie pour d plus petits.

Mauvaise application

S'attendre à ce que la mesure de Hausdorff se comporte comme la mesure de Lebesgue sur tous les ensembles (par exemple en supposant l'invariance par translation ou une additivité simple sans vérifier la mesurabilité au sens de Carathéodory) ou utiliser une fonction jauge inappropriée au lieu de la puissance d déforme les conclusions.

Conséquence

La mesure de Hausdorff fournit la notion de dimension de Hausdorff comme exposant critique séparant mesure nulle et infinie, offre un outil pour quantifier précisément la géométrie fractale et donne des classes de régularité fines pour ensembles et mesures utilisées en théorie géométrique de la mesure.

Inversion

Remplacer la mesure de Hausdorff par le contenu de box-counting (contenu de Minkowski) inverse l'approche des recouvrements libres de taille variable vers un comptage à échelle fixe ; les deux coïncident pour de nombreux ensembles réguliers mais peuvent différer pour des fractales pathologiques, échangeant la mesurabilité de Carathéodory contre une simplicité de calcul.

Limite

Définie sur des espaces métriques à l'aide de recouvrements contrôlés par le diamètre et d'un exposant ou d'une jauge choisis ; elle exclut les constructions nécessitant une structure linéaire ambiante (comme les courants) et est sensible à la métrique : changer la métrique peut modifier les mesures de Hausdorff et la dimension.

Tension sémantique

La mesure de Hausdorff est en tension sémantique avec le contenu de Minkowski et les mesures d'emballage ; tous quantifient la taille à petites échelles mais diffèrent par les règles de recouvrement et la mesurabilité, de sorte que l'analyste doit choisir la variante adaptée à la stabilité, la mesurabilité ou la calculabilité.

Synthèse

La mesure de Hausdorff est une mesure extérieure construite en sommant les diamètres mis à l'échelle de recouvrements arbitrairement fins : elle généralise les mesures classiques aux dimensions fractionnaires, définit la dimension de Hausdorff et fournit un cadre précis pour mesurer la géométrie fractale et fine dans les espaces métriques.