En théorie du potentiel, une capacité est une fonction définie sur les ensembles qui quantifie la capacité d'un sous-ensemble de l'espace à porter ou à retenir un type donné d'énergie ou de charge, généralement définie comme l'infimum d'un fonctionnel d'énergie sur les mesures admissibles ou les potentiels supportés sur l'ensemble.

Principe

La capacité organise la taille non par le volume mais par le coût énergétique : un ensemble a une petite capacité si toute charge unitaire posée sur lui a une grande énergie propre, et la capacité nulle indique une influence négligeable pour le noyau ou l'espace de fonctions choisi.

Démonstration

Dans R^n avec le noyau newtonien, la capacité d'une boule fermée de rayon r se comporte comme r^{n-2} pour n>2 (à constantes près), montrant comment la taille géométrique et le type de noyau déterminent la capacité ; des ensembles fractals fins peuvent avoir capacité nulle alors que leur mesure de Lebesgue est positive ou inversement selon la dimension.

Mauvaise application

Traiter la capacité comme une mesure ordinaire (en attendant la σ-additivité ou la continuité monotone comme pour la mesure de Lebesgue) ou utiliser un noyau/espace de fonctions inadapté conduit à un mauvais emploi du concept et à des assertions qualitatives incorrectes sur des ensembles fins.

Conséquence

La capacité identifie les ensembles exceptionnels ou polaires pour les EDP et les énoncés en théorie du potentiel : les ensembles de capacité nulle peuvent être négligés dans les problèmes de Dirichlet ou dans des énoncés de continuité fine, et des estimations capacitaires contrôlent le comportement ponctuel des potentiels et des solutions.

Inversion

Remplacer la capacité par la mesure de Lebesgue dans des problèmes gouvernés par des noyaux potentiels inverse le point de vue du rôle énergétique au rôle volumique ; beaucoup d'ensembles fins négligeables pour la capacité peuvent avoir mesure positive, donc l'inversion change les ensembles considérés comme négligeables.

Limite

La capacité dépend du choix du noyau ou de la classe de fonctions (par exemple capacités newtoniennes, de Riesz, ou de Sobolev) ; elle est définie pour des sous-ensembles d'un espace ambiant donné et n'est pas identifiée naïvement à une mesure extérieure sauf si la construction capacitaire le produit.

Tension sémantique

La capacité rivalise sémantiquement avec la mesure et la dimension : tandis que la mesure quantifie la taille en masse et la dimension de Hausdorff capture l'échelle, la capacité mesure l'importance énergétique relative à un opérateur ou noyau, de sorte qu'un même ensemble peut être petit selon l'un et grand selon l'autre.

Synthèse

La capacité est un concept de taille d'ensemble dépendant d'un noyau ou opérateur, mesurant le coût énergétique pour placer une charge unitaire ou un potentiel sur l'ensemble : elle identifie les ensembles négligeables en théorie du potentiel et pour les EDP, complète la mesure et la dimension, et se définit par minimisation variationnelle d'énergie.