Pour une fonction mesurable f, l’infimum essentiel est le plus grand nombre réel étendu m tel que f(x) ≥ m pour presque tout x (c.-à-d. en dehors d’un ensemble de mesure nulle). Il fournit une borne inférieure maximale à modulo des ensembles nuls.

Principe

Ignorer les ensembles nuls pour les bornes inférieures : l’infimum essentiel maximise la borne inférieure qui tient presque partout, donnant une notion p.p. des valeurs minimales.

Démonstration

Considérons g qui vaut 5 partout sauf sur un ensemble dénombrable de mesure nulle où g prend la valeur −100. L’infimum essentiel de g est 5 car les valeurs négatives extrêmes n’apparaissent que sur un ensemble nul, bien que l’infimum ponctuel soit −100.

Mauvaise application

Utiliser l’infimum ponctuel comme s’il était l’infimum essentiel, laissant ainsi des creux négligeables dicter la borne globale inférieure ; ou appliquer ess inf sans mesurabilité ou mesure précisée.

Conséquence

Donne une notion stable de bornes inférieures presque partout utilisée dans les estimations L^p, les principes de comparaison et l’ordre des classes d’équivalence de fonctions mesurables.

Inversion

L’infimum ponctuel, perspective inverse, ne néglige pas les creux négligeables et est en général ≤ à l’infimum essentiel si des pics négatifs existent sur des ensembles nuls.

Limite

S’applique uniquement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré ; c’est un nombre réel étendu et peut être −∞ ou +∞. Il ne rend pas compte des minima topologiques ni du comportement sur des ensembles non mesurables.

Tension sémantique

Conflit avec l’infimum ponctuel : l’infimum essentiel privilégie le comportement p.p., tandis que l’infimum ponctuel traite chaque point de la même façon. L’absence de mesure crée une ambiguïté.

Synthèse

L’infimum essentiel est le plus grand réel étendu qui constitue une borne inférieure presque partout : l’analogue en théorie de la mesure de l’infimum classique, stable sous perturbations sur ensembles nuls.