La différence suprême entre les valeurs d'une fonction sur des voisinages arbitrairement petits (oscillation locale) ou le supremum moins l'infimum sur un ensemble (oscillation globale), utilisée pour quantifier la variabilité locale : ω_f(x0) = lim_{r→0} sup_{B(x0,r)} f - inf_{B(x0,r)} f. L'oscillation mesure le défaut de continuité et affine le module de continuité.

Principe

L'oscillation saisit l'amplitude maximale des fluctuations locales et se relie directement à la continuité : une fonction est continue en un point exactement si son oscillation en ce point est nulle. Elle fournit une mesure dépendant de l'échelle pour l'irrégularité et est utile en intégration et critères de régularité.

Démonstration

La fonction caractéristique de (0,1) a une oscillation de 1 aux points frontières 0 et 1 ; la fonction sin(1/x) sur (0,1] a une oscillation de 2 en x=0, tandis qu'une fonction uniformément continue a une oscillation qui tend uniformément vers 0 quand les rayons des voisinages décroissent.

Mauvaise application

Utiliser l'oscillation pour déduire la différentiabilité ou le contenu fréquentiel : une faible oscillation implique la continuité mais pas la différentiabilité, et l'amplitude d'oscillation ne renseigne pas sur la fréquence des oscillations ; confondre oscillation et variation totale peut induire en erreur entre changement cumulé et amplitude locale.

Conséquence

L'oscillation est un diagnostic pour la continuité et l'intégrabilité au sens de Riemann (les points d'oscillation élevée posent problème), sous-tend des estimations du module de continuité, et fournit des contrôles de régularité localisés employés en EDP et analyse harmonique.

Inversion

La variation totale ou les normes L^p mesurent la fluctuation cumulée ou moyenne plutôt que l'amplitude locale suprême ; une fonction peut avoir une faible oscillation en la plupart des points mais une grande variation totale, donc inverser la notion met l'accent sur le changement accumulé plutôt que sur l'amplitude locale crête-à-crête.

Limite

Définie pour des fonctions à valeurs réelles ou à valeurs dans un espace métrique sur des espaces métriques et des ensembles mesurables ; la définition locale usuelle se réfère au supremum sur des boules métriques lorsque le rayon tend vers zéro. Elle exclut les notions purement spectrales d'oscillation (amplitude en domaine fréquentiel) sauf lien explicite via des transformées.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'oscillation comme amplitude crête-à-crête locale et d'autres mesures d'irrégularité comme la variation ou la fréquence d'oscillation : différents problèmes exigent l'une ou l'autre notion, et les confondre conduit à des inférences incorrectes sur la régularité ou l'intégrabilité.

Synthèse

L'oscillation quantifie la variabilité locale maximale d'une fonction en mesurant les différences suprêmes sur des voisinages qui rétrécissent ; elle caractérise précisément la continuité en un point, complète les mesures intégrales et variationnelles du changement, et sert d'outil localisé pour l'analyse de régularité.