L'espace C_0(X) des fonctions continues à valeurs scalaires sur un espace localement compact et séparé (Hausdorff) X qui s'annulent à l'infini, c'est-à-dire : pour tout ε>0 il existe un compact K ⊂ X tel que |f(x)| < ε pour x hors de K ; on l'équipe généralement de la norme du supremum lorsque X est non compact.

Principe

S'annuler à l'infini identifie des fonctions approchables par des fonctions continues à support compact et encode la décroissance : les éléments deviennent arbitrairement petits en dehors de grands compacts, propriété stable par limites uniformes et pertinente pour la dualité avec les mesures de Radon.

Démonstration

Pour X = R, C_0(R) est l'espace des fonctions continues qui tendent vers 0 quand |x| → ∞ ; les fonctions continues à support compact sont denses dans C_0(R) pour la norme du supremum, montrant l'approximation par des fonctions à support effectivement compact.

Mauvaise application

Confondre s'annuler à l'infini et avoir un support compact (ils diffèrent : s'annuler autorise des queues non nulles qui décroissent), ou utiliser C_0(X) quand l'espace sous-jacent n'est pas localement compact Hausdorff, ce qui rompt les énoncés usuels de dualité.

Conséquence

Comme espace de Banach pour la norme du supremum, C_0(X) offre un cadre pour le calcul fonctionnel et la dualité : son dual continu peut s'identifier à certaines mesures de Radon lorsque X est localement compact Hausdorff, permettant une représentation, mesurable, des formes linéaires continues.

Inversion

Inverser la notion revient à considérer C_b(X), l'espace des fonctions continues bornées : la seule borne remplace la décroissance à l'infini, si bien que les éléments n'ont pas besoin de s'annuler et les propriétés de dualité évoluent.

Limite

Défini pour des espaces localement compacts et Hausdorff ; si X est compact alors C_0(X) = C(X) ; des domaines non localement compacts exigent d'autres espaces et peuvent invalider la densité et les résultats de dualité valables pour C_0.

Tension sémantique

La tension porte entre l'annulation à l'infini et le support compact, et entre conditions de décroissance et simple bornitude ; il y a aussi une tension avec des notions de décroissance mesurées en Lp ou au sens distributionnel qui quantifient la décroissance différemment.

Synthèse

C_0(X) est l'espace de Banach des fonctions continues sur un espace localement compact Hausdorff qui s'annulent à l'infini, formalisant une décroissance uniforme, admettant l'approximation par des fonctions à support compact et une description duale concrète via les mesures.