Un espace vectoriel topologique localement convexe possédant la propriété que les applications linéaires continues de cet espace vers tout espace de Banach se factorisent d'une manière analogue aux opérateurs de classe trace : les ensembles bornés sont envoyés sur des ensembles relativement compacts via des factorisations approchées de rang fini satisfaisant une sommabilité, ce qui entraîne de fortes propriétés de compacité et une régularité des produits tensoriels.

Principe

La nucléarité encode une condition de sommabilité sur les approximations dominées par des sous-normes de l'identité de sorte que des idéaux d'opérateurs analogues aux opérateurs de trace contrôlent les applications sortantes ; de façon équivalente, certains morphismes canoniques entre produits tensoriels complétés coïncident.

Démonstration

L'espace de Schwartz S(R^n) des fonctions lisses à décroissance rapide est nucléaire : les applications linéaires continues de S(R^n) vers des espaces de Banach peuvent être approchées par des applications de rang fini à valeurs singulières décroissantes rapidement, et de nombreux théorèmes de noyau (théorème du noyau de Schwartz) reposent sur la nucléarité.

Mauvaise application

Supposer la nucléarité pour tout espace de Fréchet ou confondre les opérateurs nucléaires (opérateurs particuliers) avec la propriété globale d'un espace sans vérifier les conditions de sommabilité/approximation requises.

Conséquence

Comportement excellent pour les applications et la dualité : les topologies de produit tensoriel (projective et injective) coïncident dans de nombreux cas, les noyaux représentent des formes bilinéaires continues, les espaces de distributions admettent des théorèmes de noyau, et les propriétés de compacité renforcent les manipulations fonctionnelles.

Inversion

Les espaces localement convexes non nucléaires — la plupart des espaces de Banach de dimension infinie ou beaucoup d'espaces L^p pour 1≤p<∞ — n'ont pas la sommabilité qui force l'approximation par des opérateurs de type trace et n'ont donc pas beaucoup des propriétés de compacité et de représentation par noyau.

Limite

La nucléarité est une condition topologique dépendant de la topologie localement convexe choisie ; elle exclut la plupart des espaces de Banach non nucléaires et doit être vérifiée par la construction de suites d'approximation appropriées ou par l'identification des produits tensoriels.

Tension sémantique

L'adjectif « nucléaire » peut désigner soit les opérateurs nucléaires (opérateurs avec représentation à valeurs singulières sommables) soit les espaces nucléaires (propriété topologique globale) ; confondre les deux mélange le comportement d'opérateurs particuliers et les qualités structurelles du domaine.

Synthèse

Un espace nucléaire est un espace localement convexe dont la topologie impose des approximations de rang fini sommables des applications sortantes, produisant des effets de type compacité et des identités régulières pour les produits tensoriels qui sous-tendent de nombreux théorèmes de noyau et de dualité.