Un espace vectoriel topologique dont la topologie admet une base locale en zéro constituée de voisinages convexes ; équivalemment un EVT dont la topologie peut être générée par une famille de sous-normes.

Principe

Des voisinages convexes autour de zéro permettent d'utiliser des techniques linéaires et analytiques basées sur la convexité ; les familles de sous-normes encodent la topologie et ramènent les questions de continuité à des estimations par ces sous-normes.

Démonstration

L'espace C(K) des fonctions continues sur un compact K muni de la norme du maximum est localement convexe car les boules de cette norme sont convexes ; plus généralement, les produits et les espaces définis par des familles de sous-normes (par ex. des espaces de suites avec sous-normes coordonnées) sont localement convexes.

Mauvaise application

Supposer que la convexité locale implique en général la réflexivité ou la normabilité, ou que toute fonctionnelle linéaire est continue ; la convexité locale est une condition plus faible et demande des hypothèses supplémentaires pour obtenir ces propriétés.

Conséquence

Disponibilité de fonctionnelles linéaires continues séparantes (extensions de type Hahn–Banach) dans de nombreux contextes, développement d'une théorie du dual et possibilité de construire des topologies localement convexes par familles de sous-normes et par limites projectives/inductives.

Inversion

Les espaces vectoriels topologiques non localement convexes (par exemple certains espaces munis de F-normes ne satisfaisant pas la convexité pour combinaisons) ne possèdent pas de description par sous-normes et résistent à beaucoup d'outils classiques de l'analyse fonctionnelle.

Limite

Comprend les espaces normés et métrisables engendrés par des sous-normes mais exclut les espaces qui n'admettent pas de base de voisinages convexes en zéro ; des propriétés comme être borné, barrelé ou de Montel sont des conditions supplémentaires non garanties par la seule convexité locale.

Tension sémantique

La convexité locale est parfois confondue avec un bon comportement du dual ou avec la métrisabilité ; la tension porte sur la différence entre la convexité locale, condition topologique faible, et des propriétés plus fortes (normabilité, réflexivité) qui requièrent des hypothèses supplémentaires.

Synthèse

Un espace localement convexe est le cadre topologique minimal qui conserve la géométrie convexe nécessaire à l'analyse linéaire, concrètement encodée par des familles de sous-normes gouvernant la continuité et la dualité.