Une suite exacte de bas degré en cohomologie des groupes qui relie la cohomologie d'un groupe G, d'un sous-groupe normal N et du quotient Q = G/N au moyen des applications d'inflation et de restriction ; elle s'obtient comme suite d'edge de la suite spectrale de Hochschild–Serre et fournit des relations exactes entre H^i(Q, M^N), H^i(G,M) et H^i(N,M)^{Q} en petits degrés.

Principe

La fonctorialité de la cohomologie pour la restriction aux sous-groupes et l'inflation depuis les quotients engendre des morphismes de connexion ; la machinerie des suites spectrales produit des suites exactes en bas degré qui codent la façon dont les invariants et cocycles se relèvent ou se restreignent à travers l'extension 1 → N → G → Q → 1.

Démonstration

Pour une extension 1 → N → G → Q → 1 et un G-module M, les termes de bas degré comprennent 0 → H^1(Q, M^N) → H^1(G,M) → H^1(N,M)^Q → H^2(Q, M^N) → H^2(G,M), donnant des tests concrets pour savoir quand une classe de H^1(N,M) s'étend à G ou quand une classe de H^2(Q,M^N) obstrue le relèvement ; ces suites servent à classifier les extensions et les problèmes de relèvement de cocycles.

Mauvaise application

Employer la suite exacte sans vérifier que N est normal, négliger les invariants M^N ou l'action de Q, ou utiliser la suite hors de son domaine de bas degré sans recourir à la suite spectrale complète peut conduire à des conclusions erronées sur le relèvement ou la restriction des classes de cohomologie.

Conséquence

Donne des critères explicites d'obstruction et de relèvement pour les cocycles et les extensions de groupes, permet de détecter quand des classes proviennent du quotient (par inflation) ou descendent au sous-groupe (par restriction) et relie concrètement les classes d'extension à la cohomologie en bas degré.

Inversion

Si les applications de la suite cessent d'être injectives ou surjectives comme attendu, ou si des classes d'obstruction sont non triviales, alors des classes ne se relèvent ou ne se restreignent pas comme voulu ; l'inversion met en relief la présence d'obstructions et de phénomènes de non-scindage dans l'extension.

Limite

Valable pour les extensions de groupes avec N normal et un G-module M ; la suite nommée décrit le comportement en bas degré et est dérivée de la suite spectrale de Hochschild–Serre, elle ne remplace pas la suite spectrale complète lorsque des informations en degrés supérieurs sont nécessaires.

Tension sémantique

Constitue la manifestation pratique, en bas degré, de la suite spectrale de Hochschild–Serre : il faut choisir entre utiliser ces relations exactes concrètes pour des calculs explicites de bas degré et la vue d'ensemble fournie par la suite spectrale complète quand des différentielles supérieures ou des obstructions profondes importent.

Synthèse

La suite exacte d'inflation–restriction extrait de la suite spectrale de Hochschild–Serre les suites exactes courtes et les morphismes de connexion explicites en bas degré qui contrôlent le relèvement, la restriction et l'obstruction des classes de cohomologie à travers une extension de groupes.