Une suite spectrale du premier quadrant qui relie la cohomologie d'une extension de groupes 1 → N → G → Q → 1 à coefficients dans un G-module M : la page E2 est E2^{p,q} = H^p(Q, H^q(N,M)) et elle aboutit à H^{p+q}(G,M), exprimant ainsi la cohomologie de G en termes de la cohomologie du sous-groupe normal N et du quotient Q.

Principe

La cohomologie des groupes est fonctorielle et se calcule par foncteurs dérivés ; pour une extension la composition dérivée fournit une suite spectrale dont le terme E2 est la cohomologie du quotient à coefficients dans la cohomologie du sous-groupe normal, codant les obstructions successives et les classes d'extension.

Démonstration

Pour une extension 1 → N → G → Q → 1 et un G-module M, la suite spectrale de Hochschild–Serre produit les termes exacts de bas degré et les pages supérieures qui permettent de calculer H^*(G,M) à partir de H^*(N,M) vu comme Q-module et de H^*(Q,-). Par exemple, si N est cyclique d'ordre premier et que Q agit trivialement sur H^q(N,M), la suite spectrale se réduit souvent et donne des calculs explicites.

Mauvaise application

Employer la suite lorsque N n'est pas normal, ignorer l'action de Q sur H^q(N,M) ou supposer un effondrement automatique sans vérifier les différentielles et les problèmes d'extension ; cela conduit à des conclusions erronées sur H^*(G,M).

Conséquence

Fournit une méthode systématique pour calculer et contraindre la cohomologie des groupes, produit des suites exactes de bas degré (inflation–restriction) et révèle des obstructions au scindage ou au relèvement de cocycles via les différentielles des pages de la suite spectrale.

Inversion

Si la suite spectrale présente des différentielles non triviales ou des problèmes d'extension non triviaux à l'abutment, la cohomologie de G ne se reconstruit pas simplement en combinant naïvement les cohomologies de N et Q ; cette inversion souligne les interactions cachées et les obstructions supérieures.

Limite

S'applique aux extensions de groupes avec un sous-groupe normal N et un G-module M ; il faut prêter attention aux actions et, pour la cohomologie continue, aux hypothèses topologiques. Elle ne s'applique pas telle quelle lorsque N n'est pas normal ou si la cohomologie doit être prise dans une autre catégorie sans structure de foncteur dérivé adéquate.

Tension sémantique

Voisine de la suite exacte d'inflation–restriction : celle-ci correspond aux suites de bords (edge sequences) de Hochschild–Serre, créant une tension entre l'utilisation d'un outil exact de bas degré et la machinerie complète de la suite spectrale lorsque les obstructions d'ordre supérieur comptent.

Synthèse

La suite spectrale de Hochschild–Serre organise le calcul de la cohomologie d'un groupe pour une extension en filtrant les contributions d'un sous-groupe normal et du quotient, explicitant comment les morceaux locaux de cohomologie et les différentielles d'ordre supérieur s'assemblent pour former la cohomologie entière du groupe.