Un théorème de structure en théorie des représentations des groupes localement compacts qui caractérise les représentations unitaires induites à partir d’un sous-groupe fermé par des systèmes d’imprimitivité (mesures à valeurs projectives) sur l’espace homogène et établit une équivalence entre certaines catégories de représentations ; il relie les représentations induites aux représentations covariantes de systèmes dynamiques en C* issus de l’espace homogène.

Principe

L’induction de représentations unitaires peut être codée par une mesure à valeurs projectives compatible (un système d’imprimitivité) sur G/H ; l’idée organisatrice est que les espaces G-transitifs et leurs mesures projectives classifient les représentations unitaires induites à équivalence près.

Démonstration

Pour G localement compact et H fermé, la représentation induite d’une représentation unitaire σ de H agit par translations à gauche sur les sections d’un fibré d’Hilbert au-dessus de G/H ; le théorème identifie cette représentation induite à une représentation de G munie d’une mesure à valeurs projectives sur G/H satisfaisant des relations de covariance, par exemple la représentation régulière sur L^2(G/H) provient de la représentation triviale de H.

Mauvaise application

Appliquer le théorème hors de ses hypothèses (groupes non localement compacts, représentations non unitaires, ou négliger la structure mesurable et la fonction modulaire) ou traiter l’induction algébrique sans aborder les aspects analytiques (mesures, intégrabilité).

Conséquence

Fournit un outil de classification puissant : les représentations unitaires induites sont décrites par des données géométriques sur les espaces homogènes, ce qui facilite la décomposition, les équivalences de catégories basées sur l’imprimitivité et les liens avec les produits croisés C* et la machine de Mackey en théorie ergodique et analyse harmonique non commutative.

Inversion

L’absence d’un système d’imprimitivité satisfaisant la covariance empêche de réaliser une représentation comme induite d’un sous-groupe ; de façon équivalente, toutes les représentations unitaires ne sont pas induites d’un sous-groupe propre — l’induction est une construction restrictive.

Limite

Exige des groupes localement compacts, des sous-groupes fermés, des représentations unitaires sur espaces de Hilbert et des structures mesurables/projectives ; il ne s’applique pas directement à l’induction purement algébrique, aux représentations banachiques non unitaires ou aux groupes dépourvus d’une mesure de Haar raisonnable.

Tension sémantique

Se met en tension avec la réciprocité de Frobenius et la théorie de l’induction en contexte purement algébrique ; la tension est entre l’induction analytique (mesurable, unitaire) capturée par l’imprimitivité et l’induction algébrique où la covariance mésoétatique manque.

Synthèse

Le théorème d’imprimitivité de Mackey affirme que les représentations unitaires induites d’un sous-groupe fermé sont exactement celles qui admettent une mesure à valeurs projectives compatible sur l’espace homogène ; il exprime l’induction comme des données géométriques sur G/H et fournit des équivalences catégoriques utiles en décomposition et en théorie des produits croisés.