Un théorème sur les plongements et automorphismes d’algèbres simples et centrales simples sur un corps : tout morphisme d’algèbres sur k d’une algèbre simple dans une algèbre centrale simple est donné par conjugaison par un élément inversible de l’algèbre centrale simple ; de façon équivalente, tout automorphisme d’une algèbre centrale simple est intérieur.

Principe

Les algèbres centrales simples se comportent comme des algèbres matricielles à conjugaison intérieure près ; l’idée organisatrice est que les plongements dans une algèbre centrale simple sont uniques à conjugaison intérieure près parce que l’algèbre est simple et centrale sur le corps de base.

Démonstration

Si A est une algèbre centrale simple sur un corps k et B ≅ M_n(k) se plonge dans A par deux applications k-algébriques φ et ψ, le théorème de Skolem–Noether fournit u ∈ A^× tel que ψ(b)=u φ(b) u^{-1} pour tout b∈B ; concrètement, deux plongements d’une sous-algèbre matricielle sont conjugués par un élément inversible de A.

Mauvaise application

Prétendre la conclusion pour des algèbres non centrales ou non simples (par exemple des anneaux ayant des idéaux bilatères non triviaux ou des algèbres au centre plus grand), ou étendre l’énoncé à des homomorphismes d’anneaux arbitraires sans vérifier les conditions algébriques requises.

Conséquence

Donne un contrôle sur les groupes d’automorphismes des algèbres centrales simples (ils sont intérieurs modulo le centre) et sous-tend des résultats de classification (par exemple l’identification avec des algèbres matricielles après changement de base et des propriétés relatives au groupe de Brauer).

Inversion

La réciproque échoue dans des contextes non centraux ou non simples : il peut exister des automorphismes extérieurs ou des plongements non conjugués lorsque l’algèbre a un centre non trivial ou des idéaux bilatères propres.

Limite

Valable pour les algèbres centrales simples sur un corps (algèbres k-centrales simples de dimension finie) ; ne s’applique pas aux algèbres associatives générales, aux algèbres sur des anneaux au centre non trivial, ni aux structures non associatives sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Se situe à la frontière entre les notions d’automorphismes intérieurs et extérieurs : Skolem–Noether écrase cette distinction dans le cas central-simple mais doit être distingué des classifications d’automorphismes plus générales hors du cadre central-simple.

Synthèse

Le théorème de Skolem–Noether affirme que plongements et automorphismes d’algèbres centrales simples sont réalisés par conjugaison au sein de l’algèbre : la centralité et la simplicité imposent l’unicité des plongements à conjugaison intérieure près et identifient le groupe des automorphismes aux conjugaisons intérieures.