Un isomorphisme en cohomologie des groupes qui identifie la cohomologie d’un module induit à la cohomologie relative au sous-groupe qui l’a induit : pour H ≤ G et un H-module M, H^n(G, Ind_H^G M) ≅ H^n(H, M) pour tout n (sous les hypothèses adaptées sur les modules et la topologie).

Principe

L’adjonction induction–restriction est à la base du lemme : l’induction est adjoint (à gauche ou à droite suivant les conventions) de la restriction, de sorte que les complexes de cochains du module induit se ramènent aux cochains sur le sous-groupe.

Démonstration

Calcul de la cohomologie d’un module de permutation induit : si M est un module pour H et Ind_H^G M est l’ensemble des fonctions G → M vérifiant l’équivariant requis, l’application explicite au niveau des cochains fournit un isomorphisme H^n(G, Ind_H^G M) → H^n(H, M) ; concrètement, les cochains supportées sur des représentants de classes à gauche s’identifient aux H-cochains.

Mauvaise application

Appliquer le lemme sans vérifier que la construction d’induction et la théorie de cohomologie conviennent à la catégorie considérée (par exemple mêler induction discrète et cohomologie continue pour des groupes profinis, ou utiliser la coinduction au lieu de l’induction quand les hypothèses diffèrent).

Conséquence

Le lemme de Shapiro transfère des calculs cohomologiques d’un grand groupe vers un sous-groupe plus petit et fournit des compatibilités pour suites spectrales et suites exactes longues ; il est un outil central de calcul et de compréhension en cohomologie des groupes et en cohomologie galoisienne arithmétique.

Inversion

Les applications de restriction ou d’inflation vont dans la direction opposée et ne sont généralement pas des isomorphismes ; l’énoncé inverse — que la cohomologie de G détermine celle de H sans induction — est faux sans structure supplémentaire.

Limite

Valable dans le cadre de la cohomologie des groupes avec induction bien définie (modules discrets, lisses ou continus selon le contexte) ; des modifications sont nécessaires pour les groupes topologiques, les cadres dérivés ou quand on emploie la coinduction à la place de l’induction.

Tension sémantique

Proche de la réciprocité de Frobenius et parfois appelé Eckmann–Shapiro ; la tension porte sur les différentes adjonctions (induction vs coinduction) et sur les différentes cohomologies (continue, lisse, discrète) où le lemme exige des hypothèses compatibles.

Synthèse

Le lemme de Shapiro affirme formellement que l’induction est inoffensive au niveau cohomologique : induire un module au groupe plus grand puis prendre la cohomologie restitue la cohomologie calculée sur le sous-groupe, incarnant l’adjonction qui rend possible le transfert des calculs.