Une assertion d'adjonction en théorie des représentations affirmant une isomorphie canonique entre espaces Hom : pour un sous-groupe H de G et des représentations appropriées V de H et W de G, Hom_G(Ind_H^G V, W) ≅ Hom_H(V, Res_H^G W) ; en d'autres termes, l'induction est adjoint à gauche de la restriction.

Principe

La règle organisatrice est l'adjonction : induction et restriction forment une paire adjointe, ce qui permet de transférer des problèmes sur les G-modules aux H-modules et fournit des règles de calcul pour les produits scalaires de caractères et les espaces Hom.

Démonstration

Exemple concret pour groupes finis : si V est un kH-module et W un kG-module alors toute application G-linéaire Ind_H^G V → W correspond de manière unique à une application H-linéaire V → Res_H^G W ; au niveau des caractères cela fournit des identités de produits scalaires utilisées pour détecter des constituants irréductibles.

Mauvaise application

Confondre la réciprocité de Frobenius avec l'endomorphisme de Frobenius en caractéristique positive, ou appliquer l'adjonction sans vérifier les hypothèses catégoriques (continuité pour les groupes topologiques, admissibilité pour les représentations p-adiques), ce qui peut invalider l'isomorphisme.

Conséquence

Une utilisation correcte simplifie les calculs d'induction/restriction, donne des formules de réciprocité pour les multiplicités, et sous-tend des outils comme la décomposition de Mackey et les indicateurs de Frobenius–Schur en théorie des caractères.

Inversion

Si aucune relation d'adjonction n'existe entre induction et restriction, on perd les identifications canoniques d'espaces Hom et le transfert commode des calculs de multiplicités entre représentations du sous-groupe et du groupe.

Limite

Valable dans les cadres où induction et restriction sont des foncteurs adjoints bien définis (représentations de groupes finis sur corps, représentations lisses admissibles de groupes p-adiques avec constructions appropriées) ; prudence pour les groupes infinis, les catégories non lisses, ou lorsque l'induction doit être remplacée par l'induction compacte ou la coinduction.

Tension sémantique

La tension provient des usages différents du nom 'Frobenius' (endomorphisme vs réciprocité) et entre versions adjointes à gauche vs à droite (induction compacte vs induction lisse), d'où la nécessité de préciser les hypothèses catégoriques pour éviter l'ambiguïté.

Synthèse

La réciprocité de Frobenius est le principe d'adjonction qui égalise Hom_G(Ind_H^G V,W) et Hom_H(V,Res_H^G W), permettant le passage systématique entre représentations du sous-groupe et du groupe et constituant un pilier des techniques computationnelles et conceptuelles en théorie des représentations.