Une extension exacte 0 -> A -> E -> B -> 0 qui n'est pas isomorphe à l'extension directe ou triviale A ⊕ B (ou au produit semi-direct/trivial dans la catégorie concernée) ; équivalemment, sa classe dans le groupe Ext approprié est non nulle.

Principe

Les extensions non scindées représentent des façons non triviales d'assembler A et B en un nouvel objet qui n'est pas une somme directe ; elles correspondent à des éléments non triviaux des groupes d'extensions et codent des données d'interaction supplémentaires (extensions de modules, extensions de groupes non triviales, objets indécomposables).

Démonstration

Une suite exacte courte de groupes abéliens qui n'admet pas de section donne une extension non scindée : par exemple, une classe d'extension non nulle dans Ext^1(B,A) produit un E non isomorphe à A ⊕ B ; de même, des extensions de groupes non triviales produisent des groupes qui ne sont pas des produits directs.

Mauvaise application

Qualifier chaque objet moyen E non isomorphe d'extension non scindée sans vérifier si un scindage existe à isomorphisme près ; ou confondre 'non scindée' avec 'non simple' ou 'indécomposable', car une extension non scindée peut encore se décomposer autrement dans une catégorie plus large.

Conséquence

Les extensions non scindées créent de nouvelles structures algébriques et donnent souvent lieu à des objets indécomposables ou véritablement nouveaux ; leur classification via les groupes Ext éclaire la théorie des modules, la théorie des représentations et l'algèbre homologique en révélant des données d'extension cachées.

Inversion

L'inverse est une extension scindée : la suite exacte est isomorphe à la somme directe ou admet une section et correspond donc à la classe nulle dans Ext ; changer de perspective met en lumière le rôle d'une classe d'extension triviale comme ligne de partage.

Limite

S'applique dans les catégories abéliennes et dans de nombreuses théories d'extensions non abéliennes, mais la notion de 'scindage' dépend du contexte catégorique (existence de sections, structures de produit semi-direct ou isomorphisme à un produit), donc il faut être prudent lorsqu'on change de contexte.

Tension sémantique

Une tension existe entre la notion de 'non scindée' et des notions voisines comme 'indécomposable' ou 'non triviale à isomorphisme près' ; bien que reliées, 'non scindée' réfère spécifiquement à l'échec d'admettre un morphisme de scindage ou une classe triviale, pas à toutes les formes de non-trivialité.

Synthèse

Une extension non scindée est une suite exacte dont la classe d'extension est non nulle, produisant un objet moyen E qui recolle véritablement A et B plutôt que de se décomposer en somme directe ; c'est le témoin algébrique d'un recollement non trivial.