Un terme ternaire m(x,y,z) dans le langage d'une variété vérifiant m(x,x,y)=y et m(x,y,y)=x ; l'existence d'un tel terme caractérise les variétés dont les congruences sont permutables (variétés de Mal'cev).

Principe

Une unique opération ternaire munie des deux identités définitives fournit un témoin syntaxique selon lequel deux congruences quelconques commutent pour la composition relationnelle, car le terme permet d'échanger les représentants équivalents.

Démonstration

Dans la variété des groupes on peut prendre m(x,y,z)=x y^{-1} z ; on vérifie m(x,x,y)=x x^{-1} y=y et m(x,y,y)=x y^{-1} y=x, et les congruences de groupe (sous-groupes normaux) permutent en conséquence.

Mauvaise application

Supposer qu'une opération binaire satisfaisant des identités semblables suffit, ou confondre l'existence d'un commutateur binaire avec celle d'un terme de Maltsev ; ces erreurs omettent les identités ternaires précises nécessaires pour forcer la permutabilité des congruences.

Conséquence

Si une variété admet un terme de Maltsev alors les congruences permutent et de nombreux résultats structurels en découlent : simplification des équations, théorèmes de décomposition, et traitement plus aisé des identités de congruence.

Inversion

L'absence de terme de Maltsev indique que la variété peut présenter des congruences non permutables et des treillis de congruence plus compliqués ; la propriété inverse se formule par la présence de termes témoignant la non-permutabilité (par ex. termes de Day pour la distributivité).

Limite

La notion suppose une variété (classe équationnelle) et des termes dans son langage ; elle ne s'applique pas aux structures purement relationnelles ni aux énoncés sur la permutabilité exprimés uniquement de façon sémantique sans termes.

Tension sémantique

Concepts proches : « variété de Mal'cev » (propriété globale) et « opération de Maltsev » comme terme particulier ; la tension survient avec d'autres conditions de terme (p. ex. distributivité ou modularité des congruences) qui produisent des comportements de commutation différents.

Synthèse

Un terme de Maltsev est une opération ternaire satisfaisant deux identités qui certifient algébriquement que les congruences de la variété se permutent, conférant au comportement des congruences une structure proche de celle des groupes.