Une famille d'opérations élémentaires (les « mouvements de Tietze ») sur des présentations de groupes permettant de transformer une présentation finie en une autre tout en préservant la classe d'isomorphisme du groupe présenté. Les mouvements usuels comprennent l'ajout ou la suppression d'un générateur accompagné d'un relateur l'exprimant, l'ajout ou la suppression d'un relateur conséquence, et le remplacement de relateurs par leurs produits ou conjugués.

Principe

Une présentation encode un groupe par générateurs et relateurs ; les transformations de Tietze sont les manipulations locales et réversibles de la présentation qui ne modifient pas le groupe présenté. Elles organisent la relation d'équivalence sur les présentations engendrée par des changements élémentaires.

Démonstration

Pour la présentation du groupe abélien Z×Z, on peut ajouter un générateur c avec le relateur c = a b^{-1}, puis retirer b en utilisant le relateur b = a c^{-1}, obtenant ainsi une présentation finie alternative avec d'autres générateurs mais le même groupe. Cette suite utilise l'ajout de générateur, le remplacement de relateur et la suppression de générateur.

Mauvaise application

Supprimer un générateur sans relateur l'exprimant comme mot des générateurs restants peut changer le groupe présenté ; de même, appliquer ces opérations conçues pour des présentations finies à des présentations infinies ou mal fondées peut conduire à des conclusions erronées. Prendre les mouvements de Tietze pour de simples réécritures sans vérifier la réversibilité est une mauvaise utilisation fréquente.

Conséquence

Employées correctement, ces transformations donnent des présentations plus simples ou standardisées, établissent l'équivalence de présentations, facilitent les réductions algorithmiques et le calcul d'invariants, et permettent d'obtenir des présentations finies adaptées à des constructions ultérieures (extensions, quotients). Elles servent également dans les preuves que certaines opérations sur les présentations ne modifient pas le groupe.

Inversion

Le point de vue inverse consiste à examiner quelles altérations d'une présentation modifient nécessairement le groupe ; inverser les mouvements de Tietze donne la classe des 'extensions' admissibles de présentations. À l'opposé, des modifications non compatibles avec Tietze produisent des groupes réellement différents.

Limite

S'applique aux présentations de groupes (généralement finies) et suppose des relateurs et des mots bien définis. Elle ne résout pas en soi le problème de l'isomorphisme des groupes présentés ni le problème du mot en général. Il faut être prudent pour les présentations infinies, dans d'autres catégories algébriques sans ensemble de mouvements analogue, ou quand une suite non bornée d'opérations est nécessaire.

Tension sémantique

Les transformations de Tietze sont proches des transformations de Nielsen sur les systèmes de générateurs et des réductions par systèmes de réécriture : les mouvements de Nielsen agissent sur les tuples de générateurs (automorphismes du groupe libre) tandis que Tietze agit sur la présentation complète incluant les relateurs. La tension porte sur le fait de considérer les générateurs comme primaires (Nielsen) ou de manipuler à la fois générateurs et relateurs (Tietze).

Synthèse

Les transformations de Tietze forment la boîte à outils d'opérations élémentaires réversibles sur les présentations finies qui réalisent l'équivalence de présenter le même groupe : elles permettent d'ajouter, supprimer et remplacer générateurs et relateurs de façon contrôlée pour préserver la structure algébrique tout en permettant simplification et comparaison constructive des présentations.