Principe de comptage pour une action d'un groupe fini sur un ensemble fini qui calcule le nombre d'orbites distinctes comme la moyenne, prise sur les éléments du groupe, du nombre de points fixes de chaque élément.

Principe

Partition de l'ensemble en orbites sous l'action du groupe et calcul du nombre d'orbites en moyennant les nombres de points fixes pour tous les éléments du groupe.

Démonstration

Colorer les sommets d'un carré avec deux couleurs et laisser agir le groupe diédral d'ordre 8 ; le lemme de Burnside compte les colorations non équivalentes en faisant la moyenne des colorations laissées fixes par chaque symétrie (identité, rotations, réflexions).

Mauvaise application

Employer le lemme pour des groupes ou des ensembles infinis sans vérifier la finitude, ou ne moyennant que sur un sous-ensemble d'éléments du groupe, ce qui conduit à un comptage d'orbites erroné.

Conséquence

Donne une méthode simple pour compter des configurations non équivalentes sous symétrie ; c'est le cas de base dont découlent le théorème d'énumération de Polya et des généralisations par la théorie des caractères.

Inversion

Plutôt que de moyenniser les nombres de points fixes pour obtenir le nombre d'orbites, on peut sommer les tailles d'orbites pour retrouver le nombre total d'éléments ; cette inversion met l'accent sur les stabilisateurs plutôt que sur les points fixes.

Limite

Ne s'applique que lorsque le groupe agissant et l'ensemble sont finis et que l'action est bien définie. Il ne traite pas directement les colorations pondérées, les groupes de symétrie infinis ou continus, ni les actions dont les ensembles de points fixes sont infinis.

Tension sémantique

Tension avec le théorème d'énumération de Polya et les méthodes par caractères : Burnside fournit une formule d'avg concrète tandis que Polya réexprime des comptages similaires via des indices de cycles et des fonctions génératrices.

Synthèse

Le lemme de Burnside relie orbites et points fixes pour une action de groupe finie : en moyennant les nombres de points fixes on obtient le nombre d'orbites invariantes, outil combinatoire concret et point de départ pour des méthodes d'énumération symétrique plus générales.